Để tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC với các thông tin đã cho, ta áp dụng công thức diện tích tam giác:

\[
S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C
\]

Trong đó:
- \( S \) là diện tích tam giác,
- \( a \) là chiều dài cạnh AC,
- \( b \) là chiều dài cạnh BC,
- \( C \) là góc giữa hai cạnh AC và BC.

Ta có:
- \( S_{abc} = 3\sqrt{3} \)
- \( AC = 3 \)
- \( BC = 4 \)

Gọi \( AB = c \). Đầu tiên, ta cần tìm giá trị \( \sin C \). Từ công thức diện tích, ta có thể viết:

\[
3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin C
\]

Giải phương trình để tìm \( \sin C \):

\[
3\sqrt{3} = 6 \sin C
\]

\[
\sin C = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Từ đó, ta có góc \( C = 60^\circ \).

Tiếp theo, chúng ta sử dụng Định lý cosin để tính cạnh AB:

\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C
\]

Trong đó:
- \( a = AC = 3 \)
- \( b = BC = 4 \)
- \( C = 60^\circ \) và \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)

Thay các giá trị vào công thức:

\[
c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}
\]

\[
c^2 = 9 + 16 - 12
\]

\[
c^2 = 13
\]

Từ đó, ta tính được:

\[
c = \sqrt{13}
\]

Vậy độ dài cạnh AB là \( \sqrt{13} \).