Giải hệ phương trình

### Câu 1

#### a) Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
3x + 2y = 8 \quad (1)\\
4x - y = -4 \quad (2)
\end{cases}
\]
Từ phương trình (2) ta tìm \(y\):
\[
y = 4x + 4 \quad (3)
\]
Thay (3) vào (1):
\[
3x + 2(4x + 4) = 8 \\
3x + 8x + 8 = 8 \\
11x + 8 = 8 \\
11x = 0 \\
x = 0
\]
Thay \(x = 0\) vào (3):
\[
y = 4(0) + 4 = 4
\]
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \((x, y) = (0, 4)\).

#### b) Giải phương trình:
\[
\frac{3x + 1}{4} - \frac{x}{3} = 1
\]
Nhân tất cả các hạng tử với 12 (bội chung nhỏ nhất của 4 và 3):
\[
3(3x + 1) - 4x = 12 \\
9x + 3 - 4x = 12 \\
5x + 3 = 12 \\
5x = 9 \\
x = \frac{9}{5}
\]

#### c) Rút gọn biểu thức:
\[
P = \left[\frac{x+1}{2x-2} + \frac{3}{x^2-1} - \frac{x+3}{2x+2}\right]
\]
Ta có \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\) và \(2x - 2 = 2(x - 1)\), \(2x + 2 = 2(x + 1)\). Rút gọn từng phần:
\[
P = \frac{x + 1}{2(x - 1)} + \frac{3}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{x + 3}{2(x + 1)}
\]
Cùng quy về mẫu số chung là \(2(x - 1)(x + 1)\):
\[
P = \frac{(x+1)^2 + 6 - (x+3)(x-1)}{2(x-1)(x+1)}
\]
Tính toán:
\[
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1,\quad (x+3)(x-1) = x^2 + 2x - 3
\]
Vậy:
\[
P = \frac{x^2 + 2x + 1 + 6 - (x^2 + 2x - 3)}{2(x-1)(x+1)} \\
= \frac{x^2 + 2x + 7 - x^2 - 2x + 3}{2(x-1)(x+1)} \\
= \frac{10}{2(x-1)(x+1)} \\
= \frac{5}{(x-1)(x+1)}
\]

### Câu 2

#### 2.1 a) Tìm a, b:
Đường thẳng có dạng \(y = ax + b\). Với hệ số góc \(a = 2\) và đi qua điểm \(M(0;1)\), ta có:
\[
y = 2x + b \quad b = 1 \quad (=> y = 2x + 1)
\]

#### b) Tìm m cho hệ có nghiệm duy nhất:
\[
\begin{cases}
2x + y = 5m - 1\\
x - 2y = 2
\end{cases}
\]
Điều kiện có nghiệm duy nhất là định thức khác 0:
\[
\Delta = \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & -2
\end{vmatrix} = 2(-2) - 1(1) = -4 -1 = -5 \neq 0
\]
Tìm m với điều kiện \(x^2 - 3y^2 = 4\).

### Câu 2.2
Đặt năng suất làm việc của người thứ nhất là \(a\) (công việc/giờ), thứ hai là \(b\):
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{16} \quad (i)
\]
Làm riêng:
\[
3a + 6b = 0.25 \quad (ii)
\]

Giải hệ (i) và (ii).

### Câu 3
#### a) AD là đường kính:
Vì \(AH\) là đường cao của tam giác đều, \(D\) là giao điểm của đường cao và đường tròn, theo định lý đường kính, \(AD\) là đường kính.

#### b) Tính số đo góc ACD:
Vì tam giác ABC là tam giác cân nên góc ACD sẽ bằng 90°.

#### c) Tính AH và bán kính:
Sử dụng các theo định lý Pythagore:
\[
AH^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = R^2
\]

### Câu 4
Sử dụng công thức:
\[
d = \frac{h}{\sin \theta} = \frac{350}{\sin 20°}
\]

### Câu 5
Giải hệ:
\[
x^3 + xy^3 + y^3 = 17\\
x + xy + y = 5
\]

### Câu 6
Tìm m cho hệ có nghiệm duy nhất:
\[
\Delta = (2m)(m) - (8)(1) \neq 0
\]
Tìm hệ thức giữa \(x\), \(y\).

### Câu 7
Đặt chiều dài là \(l\), chiều rộng là \(w\):
\[
2(l+w) = 48 \quad (i)\\
2(3l + 4w) = 162 \quad (ii)
\]
Giải hệ phương trình (i) và (ii) để tìm diện tích.