Để biểu thức \( A = \frac{2x + 3}{x + 2} \) có giá trị nguyên, mẫu số \( x + 2 \) phải khác 0, đồng thời cả tử số \( 2x + 3 \) phải chia hết cho mẫu số \( x + 2 \).

Ta xét điều kiện này:

1. **Tính điều kiện chia hết**: Từ biểu thức \( A \), ta cần \( 2x + 3 \equiv 0 \,(\text{mod } x + 2) \).

Ta có thể chuyển đổi biểu thức này thành phương trình chia:

\[
2x + 3 = k(x + 2)
\]

Với \( k \) là một số nguyên. Từ đó ta có:

\[
2x + 3 = kx + 2k
\]

Sắp xếp lại, ta được:

\[
(2 - k)x + (3 - 2k) = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm, hệ số của \( x \) phải bằng 0:

\[
2 - k = 0 \implies k = 2
\]

Thay vào ta có:

\[
3 - 2k = 3 - 4 = -1
\]

Điều này không cho chúng ta sử dụng \( k \) mà tương đương mình sẽ tính chia:

\[
A = 2 - \frac{1}{x + 2}
\]

Để \( A \) là nguyên, thì \( \frac{1}{x + 2} \) cần là một số hữu tỉ, tức là \( x + 2 \) phải chia hết cho 1. Điều này xảy ra khi \( x + 2 \) là 1, do đó:

1. \( x + 2 = 1 \implies x = -1 \) (không phải số tự nhiên)

Hoặc kêu cần điều kiện là \( \frac{1}{x + 2} = n \), với \( n = 1, 2, 3,... \)

Bây giờ, ta xét \( x + 2 = \frac{1}{n} \implies x = \frac{1}{n} - 2 \), không lui ra nghiệm.

\[
1, 3, 2,... không phân biệt lên.

\]

Ta kiểm tra nghiệm có vẻ không ổn định...

Vậy ta hoàn tất lại:

Kiểm tra từng giá trị \( x = 0, 1, 2, 3, ...\) cho tới khi không tìm thấy nghiệm.

Khi đó nghiệm hữu hạn cho mỗi \( x \), \( x = 1, 2, ...\)

Ta kiểm tra tìm kiếm từ 0 tới số lớn.

Ta có:

- \( x = 0 \)

- \( x = 1 \)

- \( x = 2 \)

Dựa trên logic, \( x \) có thể chia và thực

Kiểm tra từng giá trị trong tự nhiên, biểu thức trên \( A \) được nhìn.

Do đó, luôn có nghiệm \( A \) và N không hợp lệ cho nhau...

Cám ơn bạn đã đặt câu hỏi !