Để chứng minh \( B = 2 + 2^3 + 2^5 + \ldots + 2^{23} \) chia hết cho 21, trước tiên chúng ta cần tính tổng của dãy số này.

Dãy số \( B \) là tổng các số mũ lẻ của 2 từ \( 2^1 \) đến \( 2^{23} \). Chúng ta có thể sử dụng công thức tổng cấp số nhân để tính \( B \).

Tổng có thể được viết lại như sau:

\[
B = 2^1 + 2^3 + 2^5 + \ldots + 2^{23} = 2 \sum_{k=0}^{11} (2^2)^k
\]

Trong đó \( 2^2 = 4 \) và có 12 số hạng trong dãy này (từ \( k = 0 \) đến \( k = 11 \)). Tổng này trở thành:

\[
B = 2 \sum_{k=0}^{11} 4^k
\]

Tổng cấp số nhân là:

\[
\sum_{k=0}^{n} r^k = \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1}
\]

với \( r = 4 \) và \( n = 11 \):

\[
\sum_{k=0}^{11} 4^k = \frac{4^{12} - 1}{4 - 1} = \frac{4^{12} - 1}{3}
\]

Thay vào công thức cho \( B \):

\[
B = 2 \cdot \frac{4^{12} - 1}{3} = \frac{2(4^{12} - 1)}{3}
\]

Chúng ta sẽ kiểm tra \( B \) chia hết cho \( 21 \). Ta cần kiểm tra điều kiện \( B \) chia hết cho \( 3 \) và \( 7 \).

1. **Chia hết cho 3**:

\( 4 \equiv 1 \mod 3 \), nên \( 4^{12} \equiv 1 \mod 3 \).

Do đó:

\[
4^{12} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3
\]

Vậy \( 2(4^{12} - 1) \equiv 0 \mod 3 \).

2. **Chia hết cho 7**:

\( 4 \equiv 4 \mod 7 \), và \( 4^3 \equiv 1 \mod 7 \), do đó \( 4^{12} = (4^3)^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \mod 7 \).

Vậy:

\[
4^{12} - 1 \equiv 0 \mod 7
\]

Do đó \( 2(4^{12} - 1) \equiv 0 \mod 7 \).

Kết luận: \( B \) vừa chia hết cho \( 3 \) vừa chia hết cho \( 7 \), nên nó chia hết cho \( 21 \).

Như vậy, ta đã chứng minh \( B \) chia hết cho 21.