Cho hcn abcd, qua B, D lần lượt kẻ các đường vuông góc ac tại h,k.a,biết ac =50,bc=25.tính góc bac.b,chứng minh ha.hc=ka.kc.c,chứng minh ha=hc.tan mũ 2 dac

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ phân tích theo từng phần: tính góc \( \angle BAC \), chứng minh các tỉ lệ và đẳng thức cần thiết.

### a. Tính góc \( \angle BAC \)

Cho hình chữ nhật \( ABCD \) với \( AC = 50 \) và \( BC = 25 \). Ta nhận thấy rằng \( AC \) là đường chéo của hình chữ nhật. Để tính góc \( \angle BAC \), chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa tang của góc trong tam giác.

1. **Tìm độ dài \( AB \)**:
Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( ABC \):
\[
AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{50^2 - 25^2} = \sqrt{2500 - 625} = \sqrt{1875} = 25\sqrt{3}
\]

2. **Tính \( \tan(\angle BAC) \)**:
Ta có:
\[
\tan(\angle BAC) = \frac{BC}{AB} = \frac{25}{25\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]
Do đó,
\[
\angle BAC = 30^\circ
\]

### b. Chứng minh \( HA \cdot HC = KA \cdot KC \)

Ta có các đoạn thẳng:
- \( HA \) là đường vuông góc từ \( H \) đến \( AC \)
- \( HC \) cũng là đoạn vuông góc từ \( H \) đến \( AC \)

Nhìn vào tam giác vuông \( ABH \) và \( DCK \), ta thấy rằng:
- \( HA \cdot HC \) là tích của các đoạn vuông góc từ các điểm đến đường chéo.
- Các tam giác \( ABH \) và \( DCK \) có các góc tương ứng bằng nhau (góc vuông và \( \angle BAC \)), nên chúng là đồng dạng. Từ đó, ta có:
\[
\frac{HA}{KA} = \frac{HC}{KC} \Rightarrow HA \cdot HC = KA \cdot KC
\]

### c. Chứng minh \( HA = HC \cdot \tan^2 \angle DAC \)

Từ định nghĩa về các đoạn đường vuông góc:
\[
HA = HC \cdot \tan(\angle DAC)
\]
Bởi vì \( \tan(\angle DAC) = \frac{HA}{HC} \), từ đó ta có:
\[
HA = HC \cdot \tan(\angle DAC) = HC \cdot \left(\frac{HA}{HC}\right) \Rightarrow HA^2 = HC^2 \cdot \tan^2(\angle DAC) \Rightarrow HA = HC \cdot \tan^2(\angle DAC)
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu trong bài toán.