Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( F = 2x - x^2 - 4y^2 + 6y - 2 \), chúng ta sẽ khai thác cả hai biến \( x \) và \( y \) theo từng bước.

**Bước 1: Tìm giá trị lớn nhất theo biến \( x \)**

Hàm \( F \) có thể viết lại theo biến \( x \):

\[
F = -x^2 + 2x - 4y^2 + 6y - 2
\]

Hàm này là một hàm bậc hai theo \( x \) với hệ số của \( x^2 \) là âm, do đó nó có cực đại. Cực đại xảy ra tại \( x = -\frac{b}{2a} \), trong đó \( a = -1 \) và \( b = 2 \):

\[
x = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1
\]

Thay \( x = 1 \) vào hàm \( F \):

\[
F = 2(1) - (1)^2 - 4y^2 + 6y - 2
\]
\[
F = 2 - 1 - 4y^2 + 6y - 2
\]
\[
F = -4y^2 + 6y - 1
\]

**Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất theo biến \( y \)**

Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm \( G(y) = -4y^2 + 6y - 1 \). Hàm này cũng là một hàm bậc hai với hệ số của \( y^2 \) là âm, nên nó cũng có cực đại.

Cực đại xảy ra tại:

\[
y = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-4)} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
\]

Thay \( y = \frac{3}{4} \) vào \( G(y) \):

\[
G\left(\frac{3}{4}\right) = -4\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 6\left(\frac{3}{4}\right) - 1
\]
\[
= -4 \cdot \frac{9}{16} + \frac{18}{4} - 1
\]
\[
= -\frac{36}{16} + \frac{72}{16} - \frac{16}{16}
\]
\[
= -\frac{36}{16} + \frac{72}{16} - \frac{16}{16} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}
\]

**Kết luận**: Giá trị lớn nhất của hàm \( F = 2x - x^2 - 4y^2 + 6y - 2 \) là \( \frac{5}{4} \).