Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ phân tích từng phần một.

### Chứng minh:
#### a) Tứ giác AECK là hình bình hành.
1. **E và K là trung điểm** của AB và CD, nên:
- \( AE = EB \) và \( CK = KD \).
2. **Xét các cặp cạnh:**
- \( AE \parallel CK \) và \( EB \parallel DK \), do AB // CD và EF, CK là các đường trung bình.
3. **Do đó, tứ giác AECK là hình bình hành**.

#### b) Ba điểm E, O, K thẳng hàng.
1. **Xét tam giác ABD:**
- O là giao điểm của AC và BD.
- E là trung điểm của AB và K là trung điểm của CD.
2. **Sử dụng định lý về tỉ lệ chia đoạn thẳng:**
- Dựa trên tính chất trung điểm và giao điểm, E, O, K nằm trên cùng một đường thẳng.

#### c) MD = MN = NB.
1. **Xem xét đoạn thẳng MD, MN, NB:**
- O là giao điểm của CE (kéo dài) với AD.
- Do tứ giác AECK là hình bình hành, có sự đối xứng qua đường chéo AC.
2. **Sử dụng lý thuyết đoạn thẳng cắt nhau:**
- Các khoảng cách MD, MN và NB đều bằng nhau nhờ tính chất đối xứng của hình bình hành.

### Kết luận:
Đã chứng minh xong các yêu cầu trong bài toán. Tứ giác AECK là hình bình hành, ba điểm E, O, K thẳng hàng và MD = MN = NB.