Chúng ta sẽ thực hiện các yêu cầu trong bài toán này.

### a) Thu gọn đơn thức \( A \):
Đơn thức đã cho là:
\[
A = 2xy^2 \cdot \left( \frac{1}{2} y^3 x \right)
\]
Ta rút gọn như sau:
\[
A = 2xy^2 \cdot \frac{1}{2} y^3 x = xy^2 \cdot y^3 x = x^2 y^{2+3} = x^2 y^5
\]
Vậy đơn thức thu gọn là:
\[
A = x^2 y^5
\]

### b) Tìm bậc và chỉ ra hệ số, biến của đơn thức thu gọn:
- **Bậc của đơn thức**: Bậc của đơn thức \( A = x^2 y^5 \) là tổng bậc của các biến:
\[
Bậc(A) = 2 + 5 = 7
\]

- **Hệ số**: Hệ số của đơn thức là \( 1 \) (bởi vì \( A \) không có hệ số khi viết ở dạng chuẩn).

- **Biến**: Các biến trong đơn thức là \( x \) và \( y \).

### c) Tính giá trị của đơn thức tại \( x = 2, y = -1 \):
Ta thay giá trị vào:
\[
A = (2)^2 \cdot (-1)^5 = 4 \cdot (-1) = -4
\]

### d) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị \( x, y \) ( \( x \neq 0, y \neq 0 \) ) thì giá trị của \( A \) luôn nhận giá trị dương:
Đơn thức \( A = x^2 y^5 \):
- \( x^2 \) luôn dương cho mọi \( x \neq 0 \).
- \( y^5 \) sẽ dương nếu \( y > 0 \) và âm nếu \( y < 0 \).

Như vậy, nếu \( y > 0 \), thì \( A \) dương.

Nếu \( y < 0 \), \( A \) chỉ sẽ nhận giá trị âm. Nên không thể khẳng định giá trị \( A \) là dương trong trường hợp \( y < 0 \).

### Kết luận:
- Giá trị của \( A \) phụ thuộc vào biến \( y \) có thể nhận giá trị dương hoặc âm, tuỳ thuộc vào giá trị của \( y \).