Chúng ta sẽ thực hiện rút gọn các biểu thức và giải bất đẳng thức trong phần a) và b) như sau:

### Phần a)

Ta có biểu thức:

\[
(2x - 1)^3 + (5 - 3x)(1 + 4x) > 8(x^3 + 1) - x
\]

Trước tiên, ta rút gọn từng phần.

1. **Tính \((2x - 1)^3\)**:
\[
(2x - 1)^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1
\]

2. **Tính \((5 - 3x)(1 + 4x)\)**:
\[
(5 - 3x)(1 + 4x) = 5 + 20x - 3x - 12x^2 = 5 + 17x - 12x^2
\]

3. **Kết hợp lại**:
\[
(2x - 1)^3 + (5 - 3x)(1 + 4x) = (8x^3 - 12x^2 + 6x - 1) + (5 + 17x - 12x^2)
\]
\[
= 8x^3 - 24x^2 + 23x + 4
\]

4. **Giải phía bên phải**:
\[
8(x^3 + 1) - x = 8x^3 + 8 - x = 8x^3 - x + 8
\]

5. **So sánh**:
\[
(8x^3 - 24x^2 + 23x + 4) > (8x^3 - x + 8)
\]
Ta rút gọn:
\[
-24x^2 + 23x + 4 > -x + 8
\]
\[
-24x^2 + 24x - 4 > 0
\]
\[
24x^2 - 24x + 4 < 0
\]
Chia cả hai vế cho 4:
\[
6x^2 - 6x + 1 < 0
\]
Giải phương trình:
\[
\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 36 - 24 = 12 > 0
\]
Vậy phương trình có 2 nghiệm:
\[
x_1, x_2 = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{12} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{12} = \frac{1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}}{2}
\]
Ta chỉ cần tìm khoảng mà bất phương trình này có nghiệm, theo dấu của bậc 2, bậc 6 này có giá trị âm giữa hai nghiệm:
\[
x \in \left( \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{2}, \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{2} \right)
\]

### Phần b)

Ta có bất đẳng thức:

\[
(x + 6)(7 - 3x) \geq 0
\]

1. **Tìm nghiệm**:
- \(x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6\)
- \(7 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{3}\)

2. **Phân tích dấu**:
Chia số thực thành các khoảng dựa trên nghiệm.

- Giai đoạn thứ 1: \(x < -6\) \(\Rightarrow (x + 6) < 0\) và \((7 - 3x) > 0\) \(\Rightarrow \text{biểu thức âm}\)
- Giai đoạn thứ 2: \(-6 \leq x \leq \frac{7}{3}\) \(\Rightarrow \text{biểu thức dương}\)
- Giai đoạn thứ 3: \(x > \frac{7}{3}\) \(\Rightarrow (x + 6) > 0\) và \((7 - 3x) < 0\) \(\Rightarrow \text{biểu thức âm}\)

Kết hợp lại, ta có:

\[
\boxed{[-6, \frac{7}{3}]}
\]

Vậy nghiệm của bất đẳng thức là khoảng từ -6 đến \( \frac{7}{3} \).