Để tính nhanh tổng của các phân số sau:

\[
\frac{1}{2} + \frac{5}{6} + \frac{11}{12} + \frac{19}{20} + \frac{29}{30} + \frac{41}{42} + \frac{55}{56} + \frac{71}{72} + \frac{89}{90}
\]

Chúng ta có thể nhận thấy rằng các phân số này đều có dạng \( \frac{n}{n+1} \), với \( n \) là số lẻ bắt đầu từ 1 và tăng dần (1, 5, 11, 19, 29, 41, 55, 71, 89).

Đầu tiên, ta tính từng phân số dưới dạng \( 1 - \frac{1}{n+1} \):

- \(\frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}\)
- \(\frac{5}{6} = 1 - \frac{1}{6}\)
- \(\frac{11}{12} = 1 - \frac{1}{12}\)
- \(\frac{19}{20} = 1 - \frac{1}{20}\)
- \(\frac{29}{30} = 1 - \frac{1}{30}\)
- \(\frac{41}{42} = 1 - \frac{1}{42}\)
- \(\frac{55}{56} = 1 - \frac{1}{56}\)
- \(\frac{71}{72} = 1 - \frac{1}{72}\)
- \(\frac{89}{90} = 1 - \frac{1}{90}\)

Tổng lại:

\[
T = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(1 - \frac{1}{6}\right) + \left(1 - \frac{1}{12}\right) + \left(1 - \frac{1}{20}\right) + \left(1 - \frac{1}{30}\right) + \left(1 - \frac{1}{42}\right) + \left(1 - \frac{1}{56}\right) + \left(1 - \frac{1}{72}\right) + \left(1 - \frac{1}{90}\right)
\]

Cộng số 1 từ tất cả các phần:

\[
= 9 - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} + \frac{1}{72} + \frac{1}{90} \right)
\]

Bây giờ ta chỉ cần tính tổng \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} + \frac{1}{72} + \frac{1}{90}\):

Tính từng phần một:

1. \( \frac{1}{2} = 0.5 \)
2. \( \frac{1}{6} \approx 0.1667 \)
3. \( \frac{1}{12} \approx 0.0833 \)
4. \( \frac{1}{20} = 0.05 \)
5. \( \frac{1}{30} \approx 0.0333 \)
6. \( \frac{1}{42} \approx 0.0238 \)
7. \( \frac{1}{56} \approx 0.0179 \)
8. \( \frac{1}{72} \approx 0.0139 \)
9. \( \frac{1}{90} \approx 0.0111 \)

Cộng lại để có tổng xấp xỉ:

\[
0.5 + 0.1667 + 0.0833 + 0.05 + 0.0333 + 0.0238 + 0.0179 + 0.0139 + 0.0111 \approx 0.8891
\]

Cuối cùng, tính tổng:

\[
T \approx 9 - 0.8891 \approx 8.1109
\]

Do đó, tổng là:

\[
\frac{1}{2} + \frac{5}{6} + \frac{11}{12} + \frac{19}{20} + \frac{29}{30} + \frac{41}{42} + \frac{55}{56} + \frac{71}{72} + \frac{89}{90} \approx 8.1109.
\]

Tuy nhiên, nếu cần kết quả chính xác, bạn cần tính tổng các phân số theo cách chính xác, có thể dùng phương pháp tìm mẫu số chung hoặc các công cụ tính toán.