Ta có biểu thức sau:

\[
\frac{3^{n+1} - 1}{3^n - 1}
\]

Để tìm số nguyên \( n \) sao cho biểu thức trên là số nguyên, ta sẽ thực hiện phép biến đổi.

Biểu thức có thể phân tích như sau:

\[
\frac{3^{n+1} - 1}{3^n - 1} = \frac{3 \cdot 3^n - 1}{3^n - 1}
\]

Áp dụng phép chia:

\[
= \frac{3 \cdot 3^n - 1}{3^n - 1} = \frac{3(3^n - 1) + 2}{3^n - 1} = 3 + \frac{2}{3^n - 1}
\]

Để biểu thức này là số nguyên, phần \(\frac{2}{3^n - 1}\) cũng cần là số nguyên. Điều này chỉ xảy ra khi \(3^n - 1\) là ước của 2.

Các ước của 2 là: \(\pm 1, \pm 2\). Ta sẽ xét từng trường hợp:

1. \(3^n - 1 = 1 \implies 3^n = 2\) (không có nghiệm nguyên).
2. \(3^n - 1 = -1 \implies 3^n = 0\) (không có nghiệm nguyên).
3. \(3^n - 1 = 2 \implies 3^n = 3 \implies n = 1\).
4. \(3^n - 1 = -2 \implies 3^n = -1\) (không có nghiệm nguyên).

Như vậy, nghiệm duy nhất là:

\[
n = 1
\]

Vậy số nguyên \( n \) để kết quả phân số là số nguyên là \( n = 1 \).