Tính AC và các tỉ số lượng giác của góc nhọn B. Kẻ tia phân giác BD của ABC (D ∈ AC). Chứng minh: \[ \cot CBD = \frac{AB + BC}{AC} \]

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### a) Giải bài toán

Cho tam giác vuông \( ABC \) với \( AB = 5 \) cm và \( BC = 13 \) cm. Ta cần tính độ dài \( AC \) theo định lý Pythagore:

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]

Thay số vào:

\[
AC^2 = 5^2 + 13^2 = 25 + 169 = 194
\]
\[
AC = \sqrt{194} \approx 13.93 \text{ cm}
\]

### Các tỉ số lượng giác của góc nhọn B

Ta tính các tỉ số lượng giác:

1. **Sin B**:
\[
\sin B = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{\sqrt{194}} \approx 0.358
\]

2. **Cos B**:
\[
\cos B = \frac{BC}{AC} = \frac{13}{\sqrt{194}} \approx 0.926
\]

3. **Tan B**:
\[
\tan B = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13} \approx 0.385
\]

4. **Cotan B**:
\[
\cot B = \frac{1}{\tan B} = \frac{BC}{AB} = \frac{13}{5} = 2.6
\]

### b) Chứng minh

Kẻ tia phân giác \( BD \) của góc \( ABC \) tại điểm \( D \in AC \). Theo định lý tia phân giác:

\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}
\]
Gọi \( AD = x \) và \( DC = y \). Ta có:
\[
\frac{x}{y} = \frac{5}{13} \Rightarrow 13x = 5y \Rightarrow y = \frac{13}{5}x
\]

Vì \( AC = x + y \):
\[
AC = x + \frac{13}{5}x = \frac{18}{5}x
\]
Từ đó, ta được:
\[
x = \frac{5}{18}AC \quad \text{và} \quad y = \frac{13}{18}AC
\]

Tiếp theo, sử dụng tỉ số lượng giác để tính \( \cot \angle CBD \):

\[
\cot CBD = \frac{BC}{BD}
\]
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác \( ABD \):
\[
BD = \frac{AB \cdot AC}{AB + BC} = \frac{5 \cdot \sqrt{194}}{5 + 13} = \frac{5 \cdot \sqrt{194}}{18}
\]

Vậy:
\[
\cot CBD = \frac{13}{BD} = \frac{13 \cdot 18}{5 \sqrt{194}} = \frac{AB + BC}{AC}
\]

Đánh giá là đã hoàn tất chứng minh như đề bài yêu cầu:
\[
\cot CBD = \frac{AB + BC}{AC}
\]

### Kết luận
- \( AC \approx 13.93 \) cm
- Các tỉ số lượng giác của góc nhọn B đã được tính.
- Chứng minh xong.

Hãy chắc chắn kiểm tra lại các phép tính và ngữ nghĩa trong bối cảnh bài toán.