Tính AC và các tỉ số lượng giác của góc nhọn B

Để giải bài toán, ta cần tính chiều dài cạnh AC và các tỉ số lượng giác của góc nhọn B trong tam giác vuông ABC.

### a) Tính AC:

Theo định lý Pythagore, trong tam giác vuông \(ABC\):
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]
Thay các giá trị đã cho:
\[
AB = 5 \text{ cm}, \quad BC = 13 \text{ cm}
\]
Cụ thể, ta có:
\[
AC^2 = 5^2 + 13^2 = 25 + 169 = 194
\]
Tiếp theo:
\[
AC = \sqrt{194} \approx 13.93 \text{ cm}
\]

### Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn B:

1. **Sin B**:
\[
\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{194}}{13}
\]

2. **Cos B**:
\[
\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}
\]

3. **Tan B**:
\[
\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{194}}{5}
\]

4. **Cot B**:
\[
\cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{\sqrt{194}}
\]

### b) Chứng minh cotang của góc CBD:

Khi kẻ tia BD, ta có:
\[
\cot \angle CBD = \frac{AB + BC}{AC}
\]

Thay các giá trị đã tính:
\[
\cot \angle CBD = \frac{5 + 13}{\sqrt{194}} = \frac{18}{\sqrt{194}}
\]

Kết luận, ta đã tính được AC và các tỉ số lượng giác của góc B, đồng thời cũng chứng minh được công thức cần thiết cho góc CBD.