Bài tập toán học 12

Để giải bài tập toán học này, mình sẽ phân tích từng phần một.

### Câu 4:
Có hình chóp OABC, với OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = 1, OB = 2, OC = 3. Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

#### a) \( OA + OB + OC = 3OG \)
**Giải:**
Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là trung bình các tọa độ của ba đỉnh A, B, C:
\[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) \]

Vì OA, OB, OC là các độ dài nên ta có:
- \( OA = 1 \), \( OB = 2 \), \( OC = 3 \).

Tính toán:
- Tọa độ O: \( (0, 0, 0) \)
- Tọa độ A: \( (1, 0, 0) \)
- Tọa độ B: \( (0, 2, 0) \)
- Tọa độ C: \( (0, 0, 3) \)

Tọa độ trọng tâm G là:
\[
G = \left( \frac{1 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 2 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 3}{3} \right) = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1 \right)
\]

Ta có:
- \( OG = \sqrt{\left( \frac{1}{3} \right)^2 + \left( \frac{2}{3} \right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + 1} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \)

Vậy:
\[
OA + OB + OC = 1 + 2 + 3 = 6
\]
Và
\[
3OG = 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}
\]
**Kết luận:** Mệnh đề a) là sai.

#### b) Tích vô hướng của hai vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{OG} \) bằng 3.
**Giải:**
Tìm các vectơ:
\[
\overrightarrow{AB} = B - A = (0, 2, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 2, 0)
\]
\[
\overrightarrow{OG} = G - O = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1 \right) - (0, 0, 0) = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1 \right)
\]
Tính tích vô hướng:
\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{OG} = (-1) \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{2}{3} + 0 \cdot 1 = -\frac{1}{3} + \frac{4}{3} = 1
\]
**Kết luận:** Mệnh đề b) là sai.

#### c) Độ dài vectơ \( \overrightarrow{OG} \) bằng \( \frac{\sqrt{14}}{3} \).
**Giải:**
Vừa tính ở phần a) là \( OG = \frac{\sqrt{5}}{3} \).
**Kết luận:** Mệnh đề c) là sai.

#### d) Khi điểm M thay đổi, biểu thức \( Q = MA^2 + MB^2 + MC^2 + 3MO^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất khi điểm M là trung điểm đoạn thẳng OG.
**Giải:**
Dễ dàng nhận thấy việc xem xét giá trị của Q tại vị trí M là trung điểm OG có thể cho giá trị nhỏ nhất do tính chất của những điểm trung bình trong không gian.

### Kết luận:
Tất cả các mệnh đề a), b), c) đều sai. Mệnh đề d) đúng.

Nếu bạn cần thêm phần nào khác, vui lòng cho mình biết!