Tính BC; AH và các tỉ số lượng giác góc ACB

Để giải bài toán này, ta có thể thực hiện các bước như sau:

**1. Tính độ dài BC và AH:**

- **AB = 6 cm, AC = 3 cm**.
- Trong tam giác vuông ABC (tại A), áp dụng định lý Pythagore:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

\[
BC^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45 \implies BC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \text{ cm}
\]

- Để tính AH (độ cao từ A xuống BC), ta có thể sử dụng công thức tính diện tích tam giác:

\[
S = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9 \text{ cm}^2
\]

Diện tích cũng có thể tính bằng cách sử dụng độ cao:

\[
S = \frac{BC \cdot AH}{2}
\]

Chúng ta có thể cân bằng hai công thức:

\[
9 = \frac{3\sqrt{5} \cdot AH}{2} \implies AH = \frac{18}{3\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} \text{ cm}
\]

**2. Tính các tỉ số lượng giác của góc ACB:**

- **Sin (ACB):**

\[
\sin(ACB) = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{3\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}
\]

- **Cos (ACB):**

\[
\cos(ACB) = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}
\]

- **Tan (ACB):**

\[
\tan(ACB) = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\]

**3. Các tỉ số lượng giác còn lại:**

- \(\csc(ACB) = \frac{1}{\sin(ACB)} = \sqrt{5}\)

- \(\sec(ACB) = \frac{1}{\cos(ACB)} = \frac{\sqrt{5}}{2}\)

- \(\cot(ACB) = \frac{1}{\tan(ACB)} = 2\)

**4. Tính độ dài đoạn MN trong phần b:**

Để tính độ dài đoạn \(MN\), ta cần áp dụng các công thức trong tam giác hoặc hình thang tùy theo vị trí cần tính trên đường thẳng BC.

Hy vọng những bước trên giúp bạn giải quyết được bài toán!