Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[
f(a, b) = -2a^2 - b^2 + 2ab + a - 2,
\]

chúng ta có thể xem xét việc đạo hàm và tìm các điểm cực trị.

1. **Tính đạo hàm theo \( a \):**

\[
\frac{\partial f}{\partial a} = -4a + 2b + 1.
\]

2. **Tính đạo hàm theo \( b \):**

\[
\frac{\partial f}{\partial b} = -2b + 2a.
\]

3. **Giải hệ phương trình để tìm các điểm cực trị:**

Đặt \(\frac{\partial f}{\partial a} = 0\) và \(\frac{\partial f}{\partial b} = 0\):

\[
-4a + 2b + 1 = 0 \quad \text{(1)}
\]
\[
-2b + 2a = 0 \quad \text{(2)}
\]

Từ (2): \(b = a\).

Thay \(b = a\) vào (1):

\[
-4a + 2a + 1 = 0 \implies -2a + 1 = 0 \implies a = \frac{1}{2}.
\]

Sau đó, từ \(b = a\), chúng ta có \(b = \frac{1}{2}\).

4. **Tính giá trị của biểu thức tại \(a = \frac{1}{2}\) và \(b = \frac{1}{2}\):**

\[
f\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = -2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} - 2.
\]

Tính từng phần:

\[
= -2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 2,
\]
\[
= -\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 2,
\]
\[
= -\frac{1}{4} - 2 = -\frac{9}{4}.
\]

5. **Để chắc chắn đây là giá trị lớn nhất, xét hạng bậc của biểu thức:**

Biểu thức là bậc 2 trong \(a\) và \(b\) với hệ số âm, nên có thể khẳng định rằng đây là giá trị cực đại.

**Kết luận**:
Giá trị lớn nhất của biểu thức là \(-\frac{9}{4}\).