Để giải bài toán trên, trước tiên ta cần hiểu rõ các thông tin được cung cấp.

1. **Kế hoạch**: Giả sử kế hoạch tổng số sản phẩm là \( x \).
2. **Sản phẩm đã hoàn thành**: Theo đề bài, xí nghiệp đã thực hiện được \( \frac{5}{9} \) kế hoạch, tức là đã hoàn thành \( \frac{5}{9}x \).
3. **Sản phẩm còn lại**: Xí nghiệp còn phải làm tiếp 560 sản phẩm nữa để hoàn thành kế hoạch, nghĩa là:
\[
x - \frac{5}{9}x = 560 \implies \frac{4}{9}x = 560.
\]
4. Từ đó, ta có thể tính được \( x \):
\[
x = 560 \times \frac{9}{4} = 1260.
\]

5. **Số sản phẩm đã làm được**: Bây giờ, ta tính được số sản phẩm đã làm:
\[
\frac{5}{9}x = \frac{5}{9} \times 1260 = 700.
\]

6. **Số sản phẩm sẽ làm thêm**: Sau khi hoàn thành số sản phẩm còn lại (560 sản phẩm), xí nghiệp còn làm thêm được \( \frac{1}{10} \) số sản phẩm theo kế hoạch:
\[
\frac{1}{10}x = \frac{1}{10} \times 1260 = 126.
\]

Tóm lại, số sản phẩm xí nghiệp đã làm được là:
\[
\text{Số sản phẩm đã làm được} = 700.
\]

Vậy đáp án là: **700 sản phẩm**.