Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E và cắt CD tại M. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại F và cắt AB tại N . Gọi I là trung điểm của EF. Tứ giác AECF là hình gì? vì sao?

Để giải bài toán, ta cần phân tích từng phần yêu cầu về hình học của tứ giác AECF và các tính chất liên quan.

### a) Tứ giác AECF là hình gì? Vì sao?
Ta có hình bình hành ABCD, nên các cạnh đối song song và bằng nhau.

- Khi kẻ đường thẳng vuông góc từ A đến BD tại E và từ C đến BD tại F, ta có:
- AE vuông góc với BD
- CF vuông góc với BD

Vì BD được coi là một đường chéo của hình bình hành, chiều dài hai đoạn AE và CF sẽ không thay đổi bằng nhau, đồng thời BC song song với AD.

Xem xét tứ giác AECF:
- AE và CF là các đoạn thẳng vuông góc với BD.
- AECF có hai cặp cạnh đối song song:
- AE song song với CF
- AC cắt BD tại I.

Vì vậy, tứ giác AECF là hình chữ nhật (có 2 cặp cạnh đối song song và cùng dài).

### b) Chứng minh: I là trung điểm của đoạn thẳng MN
Để chứng minh I là trung điểm của MN, ta cần chứng minh rằng đoạn thẳng EN = FM.

- M và N lần lượt là các điểm mà đường thẳng từ A và C cắt cạnh CD và AB. Từ đó, ta có thể sử dụng độ dài đoạn thẳng và các góc vuông đã kẻ lên để lập luận rằng độ dài M_N trên đường chéo sẽ bằng nhau, vì AE và CF cùng vuông góc với BD.

Sử dụng định lý về trung điểm của đoạn thẳng trong một hình bình hành, ta có thể kết luận rằng I thực sự là trung điểm của đoạn thẳng MN.

### c) Chứng minh: AC, BD và MN đồng quy
Để chứng minh rằng AC, BD và MN đồng quy:
- Từ A và C kẻ đường thẳng lần lượt vuông góc với BD (tạo thành các góc vuông với điểm E và F, và do đó M và N cũng liên quan đến thỏa mãn các tính chất trên).

Ta có I là điểm giao nhau của hai đường chéo AC và BD. Từ đó:
- MN nằm trong mặt phẳng hình bình hành và đồng quy tại điểm I.

Hơn nữa, vì AE song song với CF và I nằm trên cả hai đường thẳng MF và NE (như đã chứng minh trên), ta có thể kết luận rằng AC, BD, và MN đồng quy tại I.

### Kết luận:
Tứ giác AECF là hình chữ nhật, I là trung điểm của đoạn MN và AC, BD, MN đồng quy tại điểm I.