Chứng minh -9x^2 - 15x + 5 luôn dương với mọi x

Để chứng minh biểu thức \(-9x^2 - 15x + 5\) luôn dương với mọi giá trị của \(x\), chúng ta sẽ xét tính khả thi của điều này bằng cách xem xét nghiệm phương trình bậc hai tương ứng.

Cụ thể, biểu thức này có dạng tổng quát của phương trình bậc hai:
\[
ax^2 + bx + c
\]
với \(a = -9\), \(b = -15\), và \(c = 5\).

### Bước 1: Kiểm tra hệ số a
Chúng ta thấy rằng hệ số \(a = -9\) là âm, điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số sẽ mở xuống.

### Bước 2: Tính delta \(\Delta\)
Chúng ta tính delta để xem phương trình có nghiệm hay không:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot (-9) \cdot 5
\]
\[
= 225 + 180 = 405
\]

### Bước 3: Phân tích kết quả của delta
Delta dương \((\Delta > 0)\) cho thấy phương trình \(-9x^2 - 15x + 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt. Vì biểu thức là một hàm bậc hai với hệ số bậc cao âm, nó sẽ có cực trị lớn nhất tại điểm giữa của hai nghiệm và giảm xuống từ vô cực ở hai bên.

### Bước 4: Tính giá trị cực trị
Ta có thể tính tọa độ cực trị bằng công thức:
\[
x_m = -\frac{b}{2a} = -\frac{-15}{2 \cdot -9} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}
\]
Thay giá trị này vào biểu thức để tìm giá trị cực tiểu:
\[
y_m = -9\left(\frac{5}{6}\right)^2 - 15\left(\frac{5}{6}\right) + 5
\]
\[
= -9 \cdot \frac{25}{36} - 15 \cdot \frac{5}{6} + 5
\]
\[
= -\frac{225}{36} - \frac{75}{6} + 5
\]
\[
= -\frac{225}{36} - \frac{450}{36} + \frac{180}{36}
\]
\[
= -\frac{225 + 450 - 180}{36} = -\frac{450}{36} = -\frac{25}{2}
\]

### Kết luận
Giá trị cực tiểu của biểu thức là âm, do đó \(-9x^2 - 15x + 5\) không luôn dương với mọi \(x\).

Vậy nên bất đắc dĩ, mình xin lỗi vì không thể chứng minh rằng biểu thức \(-9x^2 - 15x + 5\) luôn dương với mọi \(x\). Trên thực tế, nó có giá trị âm ở điểm cực tiểu.