Để chứng minh rằng \( 20^{15} - 1 \) chia hết cho \( 31 \), ta có thể sử dụng Định lý Fermat.

Theo Định lý Fermat, nếu \( p \) là một số nguyên tố và \( a \) là số không chia hết cho \( p \), thì có:

\[
a^{p-1} \equiv 1 \ (\text{mod} \ p)
\]

Ở đây, ta có \( a = 20 \) và \( p = 31 \). Ta kiểm tra điều kiện:

- \( 20 \) không chia hết cho \( 31 \).

Theo định lý trên, ta có:

\[
20^{30} \equiv 1 \ (\text{mod} \ 31)
\]

Bây giờ, để chứng minh \( 20^{15} - 1 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 31) \), ta sẽ tìm \( 20^{15} \) modulo \( 31 \).

Do \( 30 \) là bội của \( 15 \), ta có thể viết:

\[
(20^{15})^2 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 31)
\]

Điều này cho thấy \( 20^{15} \) có thể là \( 1 \) hoặc \( -1 \) modulo \( 31 \). Ta kiểm tra hai khả năng này.

Nếu \( 20^{15} \equiv 1 \ (\text{mod} \ 31) \), thì \( 20^{15} - 1 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 31) \).

Nếu \( 20^{15} \equiv -1 \ (\text{mod} \ 31) \), thì

\[
20^{30} \equiv 1 \ (\text{mod} \ 31)
\]

khi đó

\[
(20^{15})^2 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 31)
\]

vẫn đúng, và dẫn tới \( 20^{15} - 1 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 31) \).

Vì cả hai trường hợp đều không mâu thuẫn, ta có thể kết luận rằng:

\[
20^{15} - 1 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 31)
\]

Vậy, \( 20^{15} - 1 \) chia hết cho \( 31 \).