Để chứng minh rằng \( M = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{2009^2} < 1 \), chúng ta sẽ sử dụng một số ước lượng.

### Bước 1: Tính toán tổng \( M \)

Tổng này có thể được viết lại như sau:

\[
M = \sum_{n=2}^{2009} \frac{1}{n^2}
\]

### Bước 2: Sử dụng ước lượng so sánh

Chúng ta biết rằng \( \frac{1}{n^2} \) giảm nhanh chóng khi \( n \) tăng. Để ước lượng \( M \), chúng ta có thể so sánh với một tổng vô hạn.

Đối với \( n \geq 2 \), ta có:

\[
\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} \text{ (với } n \geq 2 \text{)}
\]

### Bước 3: Viết lại tổng \( M \)

Dựa vào điều này, ta có:

\[
M < \sum_{n=2}^{2009} \frac{1}{n(n-1)}
\]

Tổng này có thể được xếp thành một dạng phân số:

\[
\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}
\]

### Bước 4: Tính tổng

Thay vào trong tổng, chúng ta có:

\[
\sum_{n=2}^{2009} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2009} \right)
\]

### Bước 5: Kết luận

Tính giá trị trên:

\[
1 - \frac{1}{2009} = \frac{2008}{2009}
\]

Vậy nên:

\[
M < \frac{2008}{2009} < 1
\]

Kết luận, chúng ta đã chứng minh rằng \( M < 1 \).