Để giải bài toán, ta xem xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với \(AB = c\) và \(AC = b\), cạnh huyền \(BC = a\). Đường trung tuyến \(AM\) từ \(A\) đến cạnh huyền \(BC\) sẽ phân chia cạnh \(BC\) thành 2 đoạn bằng nhau: \(BM = MC = \frac{a}{2}\). Tổng quát, ta có:

\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - (b^2 + c^2)} = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2} = \frac{a}{2}
\]

### Phần (a): Chứng minh \(AM = KH\)

Từ điểm \(M\), kẻ đường vuông góc \(MH\) với \(AB\) và đường vuông góc \(MK\) với \(AC\). Ta có các góc vuông:

1. \(\angle AMH = 90^\circ\)
2. \(\angle AMK = 90^\circ\)

Do đó, tam giác \(AMH\) và tam giác \(AMK\) đều là tam giác vuông.

Chúng ta sẽ dùng đồng dạng tam giác để chứng minh rằng \(AM = KH\).

Dễ dàng nhận thấy rằng \(AH\) và \(AK\) đều là chiều cao của tam giác vuông \(ABM\) và \(ACM\). Từ tính chất của tam giác vuông:

\[
\text{Chiều cao } AH = \frac{AB \cdot AM}{AC} = \frac{c \cdot AM}{b}
\]

Tương tự,

\[
\text{Chiều cao } AK = \frac{AC \cdot AM}{AB} = \frac{b \cdot AM}{c}
\]

Vì triangle \(AHM\) và triangle \(MKA\) đều vuông tại \(M\). Do đó, theo định lý Pythagore, \(KH = AM\).

Kết quả, ta có:

\[
AM = KH
\]

### Phần (b): Điều kiện để tứ giác \(AHMK\) là hình vuông

Để tứ giác \(AHMK\) trở thành hình vuông, cần thỏa mãn hai điều kiện:

1. Các cạnh \(AH\), \(AM\), \(MK\) và \(HK\) đều bằng nhau.
2. Các góc \(\angle AMH\), \(\angle AMK\), \(\angle HAK\), và \(\angle MKH\) đều bằng \(90^\circ\).

Từ hình vuông, ta cần xác định rằng \(AH\) và \(AK\) phải bằng nhau. Điều này xảy ra khi đường trung tuyến \(AM\) chia đều cạnh \(BC\).

Điều này đồng nghĩa với việc tam giác \(ABC\) phải là tam giác vuông cân, tức là \(b = c\) (hai cạnh góc vuông bằng nhau).

Tóm lại, điều kiện cần và đủ để tứ giác \(AHMK\) là hình vuông là \(AB = AC\), tức \(\triangle ABC\) là tam giác vuông cân.