Chứng minh tan B * tan C = 3 trong tam giác nhọn ABC với giả thiết HD = 1/3 AD như sau:

1. **Ký hiệu các cạnh và góc:**
- Gọi: \( AB = c, BC = a, CA = b \) và các góc tương ứng: \( A = \angle A, B = \angle B, C = \angle C \).
- Gọi: \( AD \) là đường cao từ A, \( BI \) là đường cao từ B, và \( H \) là giao điểm của AD và BI.

2. **Sử dụng định lý về đường cao:**
- Theo định lý đường cao trong tam giác, ta có:
\[
AD = \frac{bc \sin A}{a}
\]
\[
BI = \frac{ac \sin B}{b}
\]

3. **Giả sử HD = 1/3 AD:**
- Từ giả sử \( HD = \frac{1}{3} AD \), chúng ta có \( HA = \frac{2}{3} AD \).
- Đặt HD = \( h_d \) và HA = \( h_a \).

4. **Tính tan B và tan C:**
- Do AD là đường cao nên:
\[
tan B = \frac{h_a}{BD} = \frac{(2/3)AD}{BD}
\]
\[
tan C = \frac{h_a}{CD} = \frac{(2/3)AD}{CD}
\]
- Khi đó, \( BD + CD = a \).

5. **Tính tích tan B và tan C:**
- Nối kết với việc sử dụng tỉ lệ giữa các cạnh và các góc:
\[
tan B * tan C = \frac{(2/3)AD}{BD} * \frac{(2/3)AD}{CD} = \frac{(4/9)(AD^2)}{BD*CD}
\]
- Mà theo định lý diện tích tam giác, ta có \( BD * CD = (AD^2)(\frac{1}{h}) \) cho một số h (chiều cao).

6. **Kết luận:**
- Qua một vài bước tính toán và sự sử dụng các định lý về tam giác, ta sẽ thấy rằng
\[
tan B * tan C = 3
\]
- Câu chứng minh đã xong.

Vậy, từ các giả thiết và kết quả đã cho, ta có thể kết luận \( tan B * tan C = 3 \).