Cho đường tròn tâm O đường kính CD = 2R. Từ một điểm E trên đường tròn vẽ tiếp tuyến xy (E khác C và D). Kẻ DA và CB vuông góc với xy tại A và B.(B, A không thuộc đường tròn tâm O)

Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng phần như sau:

### 1) Chứng minh rằng: EA = EB và AD + BC = 2R.

Giả sử đường tròn có tâm O và bán kính R. Ta có điểm C và D nằm trên đường tròn sao cho CD là đường kính. Khi vẽ tiếp tuyến xy tại điểm E, ta có:

- \( EA \) và \( EB \) là các đoạn thẳng từ điểm E tới các điểm A và B trên đường tròn, mà A và B là hai điểm giao của đường kính CD với đường thẳng vuông góc xy tại các điểm tương ứng.

#### Chứng minh EA = EB:
Theo tính chất của tiếp tuyến và đường tròn, ta biết rằng từ một điểm bên ngoài đường tròn (ở đây là E), khoảng cách tới hai điểm tiếp xúc (A và B) là bằng nhau. Điều này có nghĩa là \( EA = EB \).

#### Chứng minh AD + BC = 2R:
Ta có điểm A thuộc đường thẳng DA vuông góc với xy tại E và điểm B thuộc đường thẳng CB vuông góc với xy tại E. Vì DA và CB đều vuông góc với xy (là tiếp tuyến), ta có thể xem rằng AD + BC chính là tổng chiều dài của các đoạn vuông góc từ các điểm A và B tới đường tròn.

Vì CD là đường kính của đường tròn, nên nó chia đường tròn thành hai nửa. Khi A và B nằm ở hai phía của CD, tổng chiều dài AD + BC chính là tiến đến tâm O và sau đó quay trở lại tâm O, tức là chiều dài của từng đoạn AD và BC sẽ là một nửa bán kính nhân với 2, tức là \( AD + BC = 2R \).

### 2) Chứng minh rằng: CD là tiếp tuyến của đường tròn (E) đường kính AB.

Để minh chứng điều này, ta cần chỉ ra rằng CD (đường kính) vuông góc với khoảng cách từ điểm O (tâm của đường tròn) tới AB (đoạn thẳng nối A và B). Ta đã thiết lập rằng EA = EB, do đó E chính là trung điểm của đoạn AB (theo định lý về các điểm tiếp tuyến).

Nếu ta xét điểm O là trung điểm của CD, thì đoạn thẳng OA sẽ vuông góc với AB (sử dụng tính chất của trung điểm). Theo định lý tiếp tuyến trong hình học, nếu một đoạn thẳng (trong trường hợp này là CD) vuông góc với một đoạn nối từ tâm đến một điểm trên đoạn thẳng đó (trong trường hợp này là A và B), thì nó cũng là tiếp tuyến của đường tròn.

Vậy, từ đó suy ra rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (E) với đường kính AB.

Từ đây, ta đã hoàn thành bài toán yêu cầu.