Để giải bài toán, ta thực hiện theo các bước sau:

### a) Giải tam giác vuông ABC

Trong tam giác vuông ABC với góc B = 60° và cạnh AB = 10cm:

1. **Tính cạnh AC:**
- Sử dụng định lý sin: \(\sin B = \frac{AC}{AB}\)
- \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{10} \Rightarrow AC = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ cm}\)

2. **Tính cạnh BC:**
- Sử dụng định lý cos: \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\)
- \(BC = \sqrt{10^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 + 75} = \sqrt{175} = 5\sqrt{7} \text{ cm}\)

### b) Tính độ dài AH và BH

1. **Tính chiều cao AH:**
- Sử dụng công thức: \(AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}\)
- \(AH = \frac{10 \cdot 5\sqrt{3}}{5\sqrt{7}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{10\sqrt{21}}{7} \text{ cm}\)

2. **Tính chiều dài BH:**
- Sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông ABH:
- Ta có \(BH^2 = AB^2 - AH^2\)
- \(BH^2 = 10^2 - \left(\frac{10\sqrt{21}}{7}\right)^2\)
- \(BH^2 = 100 - \frac{100 \cdot 21}{49} = 100 - \frac{2100}{49} = \frac{4900 - 2100}{49} = \frac{2800}{49}\)
- \(BH = \frac{\sqrt{2800}}{7} = \frac{10\sqrt{28}}{7} = \frac{20\sqrt{7}}{7} \text{ cm}\)

### Kết quả

1. **Cạnh AC:** \(5\sqrt{3} \text{ cm}\)
2. **Cạnh BC:** \(5\sqrt{7} \text{ cm}\)
3. **Chiều cao AH:** \(\frac{10\sqrt{21}}{7} \text{ cm}\)
4. **Chiều dài BH:** \(\frac{20\sqrt{7}}{7} \text{ cm}\)