Để tìm giá trị của \( \tan 2\alpha \), ta bắt đầu từ công thức:

\[
\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}
\]

Biết rằng \( \sin \alpha = \frac{2}{3} \), ta sử dụng mối quan hệ giữa lượng giác để tìm \( \cos \alpha \):

\[
\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}
\]
\[
\cos \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}
\]

Tiếp theo, tính \( \tan \alpha \):

\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}}
\]

Thay giá trị \( \tan \alpha \) vào công thức cho \( \tan 2\alpha \):

\[
\tan 2\alpha = \frac{2 \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}{1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{5}} = \frac{4 \cdot 5}{\sqrt{5}} = \frac{20}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{5}
\]

Do đó, khi tìm giá trị \( \tan 2\alpha \), ta có:

\[
\tan 2\alpha = 4\sqrt{5}
\]

Kết quả là giá trị của \( \tan 2\alpha \) là \( 4\sqrt{5} \).