Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp (O) có hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H . Kẻ đường kính AF

Để giải quyết bài toán, chúng ta sẽ thực hiện theo từng yêu cầu được nêu ra.

### Phần a)
Chứng minh 4 điểm \( B, C, D, E \) cùng thuộc một đường tròn và chỉ ra đường tròn đó.

Chúng ta biết rằng \( BD \) và \( CE \) là các đường cao của tam giác \( ABC \). Do đó, các góc \( \angle ADB \) và \( \angle AEC \) đều là các góc vuông.

Ta nhận thấy rằng:

- \( \angle ADB = 90^\circ \)
- \( \angle AEC = 90^\circ \)

Bây giờ, xem xét tứ giác \( BCDE \):

- Hai cặp góc \( \angle BDC = \angle ADB = 90^\circ \) (góc vuông tại \( D \))
- \( \angle CEB = \angle AEC = 90^\circ \) (góc vuông tại \( E \))

Từ đó, \( ABCD \) là tứ giác nội tiếp một đường tròn, vì tổng hai cặp góc đối diện bằng \( 180^\circ \).

Đường tròn đó là đường tròn ngoại tiếp của tam giác \( ABC \), với \( O \) là tâm.

### Phần b)
Chứng minh rằng \( \angle ABV = 90^\circ \) và hình bình hành \( BHC\).

Ta có:
- \( H \) là giao điểm của hai đường cao \( BD \) và \( CE \), nên \( \angle HBD = 90^\circ \) và \( \angle HCE = 90^\circ \).
- Bởi vì \( BD \) vuông góc với \( AC \) và \( CE \) vuông góc với \( AB \), từ đó suy ra \( ABH \parallel CE \) và \( BHC \parallel AB\).

Từ nhận định trên, ta có rằng các cặp cạnh đối diện của tứ giác \( BHCE \) là song song với nhau, nên tứ giác \( BHC \) là hình bình hành.

### Phần c)
Chứng minh rằng \( OI = \frac{1}{2} AH \).

- Gọi \( I \) là trung điểm của đoạn \( BC \).
- Xét tam giác \( AHB \) với đường cao \( AH \) và \( I \) là trung điểm của \( BC \).

Theo định lý đường trung bình trong tam giác, chúng ta có:

\[
OI = \frac{1}{2} AH
\]

Điều này đúng vì \( O \) là tâm của đường tròn (O), mà đường kính \( AF \) cho chúng ta \( OI \) là nửa đường cao \( AH \).

Từ đó, ta kết luận rằng \( OI = \frac{1}{2} AH \).

### Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu trong bài toán.

1. Tứ giác \( BCDE \) cùng thuộc một đường tròn (đường tròn ngoại tiếp \( ABC \)).
2. Tứ giác \( BHC \) là hình bình hành.
3. \( OI = \frac{1}{2} AH \).