Để chứng minh đoạn KM < KN, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn.

1. **Gọi các điểm**:
- K là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD, nằm outside đường tròn (O).
- Điểm M là giao điểm của đường thẳng OK và dây AB.
- Điểm N là giao điểm của đường thẳng OK và dây CD.

2. **Tính chất tiếp tuyến**:
- Theo định lý về tiếp tuyến, đoạn thẳng từ một điểm bên ngoài đường tròn đến hai tiếp tuyến vẽ từ điểm đó đến đường tròn sẽ có độ dài bằng nhau.
- Cụ thể, nếu KM và KN là độ dài từ K đến M và N, thì:
\[
KM^2 = KA^2 - AM^2
\]
\[
KN^2 = KC^2 - CN^2
\]

3. **Vì AB < CD**, có nghĩa là dây AB ngắn hơn dây CD, dẫn đến:
- Đoạn AM < CN (bởi vì AM và CN là khoảng cách đến các giao điểm trên hai dây thẳng).

4. **Suy diễn từ trên**:
- Bởi vì điểm M thuộc dây AB và điểm N thuộc dây CD, ta có:
\[
KA^2 > KC^2
\]
Điều này dẫn đến kết luận:
\[
KM < KN
\]

Do đó, ta có thể kết luận rằng \( KM < KN \). Chứng minh đã hoàn thành.