Để chứng minh rằng dây AB vuông góc với OI tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I, ta làm theo các bước sau đây:

1. **Khẳng định**: Giả sử có hai dây khác qua điểm I, gọi là dây BC.

2. **Vẽ hình**: Vẽ đường tròn (O) và vẽ đoạn thẳng OI, trong đó I là điểm bên trong đường tròn. Kéo dài đoạn I xuống đến đường tròn tại điểm A và B sao cho AB là dây vuông góc với OI.

3. **Sử dụng định lý Pythagore**: Gọi OH, OI, OK lần lượt là khoảng cách từ tâm O đến dây BC, dây AB, và dây I. Theo định lý Pythagore, ta có:
- Đối với dây AB, độ dài đoạn AB sẽ là \( AB = 2 \sqrt{R^2 - OI^2} \), trong đó R là bán kính của đường tròn.
- Đối với dây BC, độ dài đoạn BC sẽ là \( BC = 2 \sqrt{R^2 - OH^2} \).

4. **So sánh độ dài**: Vì khoảng cách từ O đến dây AB là OI và từ O đến dây BC là OH, mà I nằm bên trong đường tròn còn H là điểm trên dây BC, nên \( OI < OH \). Do đó:
\[ R^2 - OI^2 > R^2 - OH^2 \]
Khi đó ta có:
\[ 2 \sqrt{R^2 - OI^2} > 2 \sqrt{R^2 - OH^2} \]

5. **Kết luận**: Điều này chứng tỏ rằng dây AB (đi qua điểm I và vuông góc với OI) ngắn hơn bất kỳ dây nào khác đi qua I.

Vì vậy, ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.