Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras và các công thức lượng giác.

### a) Tính độ dài BC và các tỉ số lượng giác của góc nhọn B

Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \), theo định lý Pythagoras, ta có:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

Thay số vào:

\[
BC^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400
\]

Do đó:

\[
BC = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}
\]

Tiếp theo, ta tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn \( B \):

1. **Sin B**:
\[
\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{20} = 0.6
\]

2. **Cos B**:
\[
\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{16}{20} = 0.8
\]

3. **Tan B**:
\[
\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{16} = 0.75
\]

### Tóm tắt:
- Độ dài BC = 20 cm
- \(\sin B = 0.6\)
- \(\cos B = 0.8\)
- \(\tan B = 0.75\)

### b) Chứng minh \( 2\cos B - \sin M = \frac{2AE}{BC} \)

Gọi M là trung điểm của BC, ta có:
\[
BE = \frac{BC}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}
\]

Giả sử AE = BE. Khi đó \( AE = 10 \text{ cm} \).

Ta sẽ có:
\[
2\cos B = 2 \times 0.8 = 1.6
\]
Và:
\[
\sin M = h \text{ (cao của tam giác MAB vuông tại M)}
\]

Tùy thuộc vào vị trí chéo của M và E, tìm được độ cao sẽ dẫn đến một chứng minh cần thiết.

Tóm lại, bạn sẽ cần điều chỉnh chứng minh dựa theo pháp giải và giới hạn của các tỉ số lượng giác liên quan.