### Bài toán

Cho hình chữ nhật ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

1. Chứng minh tứ giác AMCD là hình chữ nhật.
2. Gọi I là giao điểm của AC và BD, chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng.

### Giải

**1. Chứng minh tứ giác AMCD là hình chữ nhật:**

- Xét tứ giác AMCD.
- Ta có các điểm A, B, C, D lần lượt là các đỉnh của hình chữ nhật. Do đó, các cạnh AB và CD song song và bẳng nhau; các cạnh AD và BC cũng song song và bẳng nhau.
- M là trung điểm của AB, nên \(AM = MB\), và N là trung điểm của CD, nên \(CN = ND\).
- M và N nằm trên các cạnh của hình chữ nhật.
- Các cạnh AM và CN nối kết với các cạnh AD và BC đều vuông góc với nhau (bởi vì ABCD là hình chữ nhật).
- Do đó, tứ giác AMCD có 2 cạnh đối diện song song và bằng nhau, cùng với 2 cạnh đối diện vuông góc với nhau => AMCD là hình chữ nhật.

**2. Gọi I là giao điểm của AC và BD, chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng:**

- Tại điểm I, vẽ đường chéo AC và BD.
- Ta biết rằng M và N là trung điểm của các cạnh AB và CD.
- Từ tính chất của hình chữ nhật, ta có:
- Độ dài đoạn thẳng AM bằng độ dài đoạn thẳng MB,
- Độ dài đoạn thẳng CN bằng độ dài đoạn thẳng ND.

- Xét tam giác AIB và tam giác CID:
- Gọi G là trung điểm của AC.
- Do M và N đều là trung điểm nên ta có:
- AM = MB, CN = ND
- Theo tính chất của trung điểm, đoạn thẳng MN sẽ cắt I (giao điểm AC và BD) sẽ nằm trên đường thẳng MN.

Do vậy, ta kết luận rằng ba điểm M, N, I thẳng hàng.

### Kết luận

Ta đã chứng minh được rằng tứ giác AMCD là hình chữ nhật và ba điểm M, N, I thẳng hàng. Hãy cho tôi biết nếu bạn cần thêm thông tin hoặc giải thích khác!