Đáp án

Hình chiếu của \(C\) trên đường thẳng \(AB\) có tọa độ (\(\frac{7}{3}\);\(\frac{2}{3}\);\(\frac{5}{3}\)).

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A,B\) và cách \(C\) một khoảng lớn nhất bằng \(\frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

Giải thích

Gọi \(M\) là hình chiếu của \(C\) trên đường thẳng \(AB\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2; - 1; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tham số đường thẳng \(AB\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 2t}\\{y =  - t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow M\left( {1 - 2t; - t;1 - t} \right) \in d \Rightarrow \overrightarrow {CM} \left( { - 2t; - t - 2; - t - 2} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {CM}  \bot \overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {AB}  = 0 \Leftrightarrow 4t + t + 2 + t + 2 = 0 \Leftrightarrow 6t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 2}}{3}\)

Vậy \(M\left( {\frac{7}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3}} \right)\).

Ta có: \(M\left( {\frac{7}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CM} \left( {\frac{4}{3};\frac{{ - 4}}{3};\frac{{ - 4}}{3}} \right) \Rightarrow CM = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(C\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

 vuông tại \(H\) nên \(CH \le CM\).

\( \Rightarrow C{H_{{\rm{max}}}} = CM \Leftrightarrow H \equiv M\).

Khi đó, \(C{H_{{\rm{max}}}} = CM = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).