Đáp án

Giải thích

Theo đề ra ta có: \({u_{n + 1}} = \frac.{u_n} \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}} = \frac{1}{3}\frac{}{n}\) mà \({u_1} = \frac{1}{3}\) hay \(\frac{}{1} = \frac{1}{3}\)

Nên ta có \(\frac{}{2} = \frac{1}{3}.\frac{1}{3} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2};\frac{}{3} = \frac{1}{3}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}; \ldots ;\frac{{{u_{10}}}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{10}}\).

Hay dãy \(\left( {\frac{}{n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{3}\), công bội \(q = \frac{1}{3}\).

Khi đó \(S = {u_1} + \frac{}{2} + \frac{}{3} +  \ldots  + \frac{{{u_{10}}}} = \frac{{{3^{10}} - 1}}{{{{2.3}^{10}}}} = \frac{{{{2.3}^{10}}}} = \frac < \frac{1}{2}\).