Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có \(A\left( { - 1;1;6} \right),B\left( { - 3; - 2; - 4} \right),C\left( {1;2; - 1} \right)\), \(D\left( {2; - 2;0} \right)\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc đường thẳng \(CD\) sao cho tam giác \(ABM\) có chu vi nhỏ nhất. Khi đó, \(a + c = \) (1) _______; b = (2) ________.

Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có \(A\left( { - 1;1;6} \right),B\left( { - 3; - 2; - 4} \right),C\left( {1;2; - 1} \right)\), \(D\left( {2; - 2;0} \right)\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc đường thẳng \(CD\) sao cho tam giác \(ABM\) có chu vi nhỏ nhất. Khi đó, \(a + c = \) (1) _______; b = (2) ________.

1 trả lời
Hỏi chi tiết
13
0
0
Trần Đan Phương
30/10 17:41:45

Đáp án

Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có \(A\left( { - 1;1;6} \right),B\left( { - 3; - 2; - 4} \right),C\left( {1;2; - 1} \right)\), \(D\left( {2; - 2;0} \right)\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc đường thẳng \(CD\) sao cho tam giác \(ABM\) có chu vi nhỏ nhất. Khi đó, \(a + c = \) (1) ___1____; b = (2) ____0___.

Giải thích

Gọi \({C_{ABM}}\) là chu vi của tam giác \(ABM\).

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 3; - 10} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {113} \)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 3; - 10} \right),\overrightarrow {CD}  = \left( {1; - 4;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  =  - 2 + 12 - 10 = 0 \Rightarrow AB \bot CD\)

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(AB\) và vuông góc với đường thẳng \(CD\).

Gọi \(H\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(CD\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(A\left( { - 1;1;6} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {CD}  = \left( {1; - 4;1} \right)\) là: \(x - 4y + z - 1 = 0\).

Phương trình đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - 4t}\\{z =  - 1 + t}\end{array}} \right.\)

Vì \(H \in CD\) nên \(H\left( {1 + t;2 - 4t; - 1 + t} \right)\).

Mà \(H \in \left( P \right) \Leftrightarrow 1 + t - 4\left( {2 - 4t} \right) - 1 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow H\left( {\frac{3}{2};0; - \frac{1}{2}} \right)\)

Với \(\forall M \in CD\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AM \ge AH}\\{BM \ge BH}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow AM + BM \ge AH + BH\).

\({C_{ABM}} = AB + AM + BM \ge \sqrt {113}  + AH + BH,\forall M \in CD\).

Suy ra \({\rm{min}}{C_{ABM}} = \sqrt {113}  + AH + BH\), đạt được \(M \equiv H \Leftrightarrow M\left( {\frac{3}{2};0; - \frac{1}{2}} \right)\)

    \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 1}\\{b = 0}\end{array}} \right.\)

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan
Bài tập Tổng hợp Lớp 12 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư