Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có \(A\left( { - 1;1;6} \right),B\left( { - 3; - 2; - 4} \right),C\left( {1;2; - 1} \right)\), \(D\left( {2; - 2;0} \right)\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc đường thẳng \(CD\) sao cho tam giác \(ABM\) có chu vi nhỏ nhất. Khi đó, \(a + c = \) (1) _______; b = (2) ________.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Đáp án
Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có \(A\left( { - 1;1;6} \right),B\left( { - 3; - 2; - 4} \right),C\left( {1;2; - 1} \right)\), \(D\left( {2; - 2;0} \right)\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc đường thẳng \(CD\) sao cho tam giác \(ABM\) có chu vi nhỏ nhất. Khi đó, \(a + c = \) (1) ___1____; b = (2) ____0___.
Giải thích
Gọi \({C_{ABM}}\) là chu vi của tam giác \(ABM\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 3; - 10} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {113} \)
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 3; - 10} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {1; - 4;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = - 2 + 12 - 10 = 0 \Rightarrow AB \bot CD\)
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(AB\) và vuông góc với đường thẳng \(CD\).
Gọi \(H\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(CD\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(A\left( { - 1;1;6} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {CD} = \left( {1; - 4;1} \right)\) là: \(x - 4y + z - 1 = 0\).
Phương trình đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - 4t}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.\)
Vì \(H \in CD\) nên \(H\left( {1 + t;2 - 4t; - 1 + t} \right)\).
Mà \(H \in \left( P \right) \Leftrightarrow 1 + t - 4\left( {2 - 4t} \right) - 1 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow H\left( {\frac{3}{2};0; - \frac{1}{2}} \right)\)
Với \(\forall M \in CD\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AM \ge AH}\\{BM \ge BH}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow AM + BM \ge AH + BH\).
\({C_{ABM}} = AB + AM + BM \ge \sqrt {113} + AH + BH,\forall M \in CD\).
Suy ra \({\rm{min}}{C_{ABM}} = \sqrt {113} + AH + BH\), đạt được \(M \equiv H \Leftrightarrow M\left( {\frac{3}{2};0; - \frac{1}{2}} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 1}\\{b = 0}\end{array}} \right.\)
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |