Để xác định điều kiện cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất, trước tiên, chúng ta sẽ viết lại hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
2x + y = 8 \quad (1) \\
4x + my = 2m + 18 \quad (2)
\end{cases}
\]

Hệ phương trình sẽ có nghiệm duy nhất nếu hai phương trình không đồng dạng, tức là hệ số của \(x\) và \(y\) trong hai phương trình phải không tỉ lệ với nhau.

Từ phương trình (1), ta có thể viết lại như sau:

\[
y = 8 - 2x \quad (1')
\]

Thay \(y\) vào phương trình (2):

\[
4x + m(8 - 2x) = 2m + 18
\]

Giải phương trình trên:

\[
4x + 8m - 2mx = 2m + 18
\]
\[
(4 - 2m)x + 8m = 2m + 18
\]
\[
(4 - 2m)x = 2m + 18 - 8m
\]
\[
(4 - 2m)x = -6m + 18
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, chúng ta cần các hệ số không tỉ lệ, tức là điều kiện:

\[
4 - 2m \neq 0 \implies m \neq 2
\]

Giả sử \(m \neq 2\), ta tìm \(x\) từ phương trình trên:

\[
x = \frac{-6m + 18}{4 - 2m}
\]

Tiếp theo, thay giá trị của \(x\) vào phương trình (1') để tìm \(y\):

\[
y = 8 - 2\left(\frac{-6m + 18}{4 - 2m}\right)
\]
\[
y = 8 + \frac{12m - 36}{4 - 2m}
\]

Sắp xếp lại:

\[
y = \frac{8(4 - 2m) + 12m - 36}{4 - 2m}
\]
\[
y = \frac{32 - 16m + 12m - 36}{4 - 2m}
\]
\[
y = \frac{-4 - 4m}{4 - 2m}
\]
\[
y = \frac{-4(1 + m)}{4 - 2m}
\]

Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương trình khi \(m \neq 2\) là:

\[
x = \frac{-6m + 18}{4 - 2m}
\]
\[
y = \frac{-4(1 + m)}{4 - 2m}
\]

Tóm lại, điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là \(m \neq 2\).