Để giải phương trình

\[
\frac{x^2 + 5}{x^2 - 25} + \frac{x}{x - 5} = \frac{-3}{x + 5},
\]

ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### Bước 1: Đưa về mẫu chung
Các mẫu của các phân số trong phương trình là \(x^2 - 25\), \(x - 5\), và \(x + 5\). Ta có thể nhận thấy rằng

\[
x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5).
\]

### Bước 2: Viết lại phương trình
Phương trình trở thành:

\[
\frac{x^2 + 5}{(x - 5)(x + 5)} + \frac{x}{x - 5} = \frac{-3}{x + 5}.
\]

### Bước 3: Nhân toàn bộ phương trình với \( (x - 5)(x + 5) \)
Nhân cả hai bên với \( (x - 5)(x + 5) \) để loại bỏ các mẫu:

\[
(x^2 + 5) + x(x + 5) = -3(x - 5).
\]

### Bước 4: Rút gọn phương trình
Khi nhân ra, ta có:

\[
x^2 + 5 + x^2 + 5x = -3x + 15.
\]

Gộp lại các hạng tử:

\[
2x^2 + 5x + 5 = -3x + 15.
\]

### Bước 5: Đưa về dạng phương trình bậc 2
Chuyển các hạng tử về một phía:

\[
2x^2 + 5x + 3x + 5 - 15 = 0.
\]

\[
2x^2 + 8x - 10 = 0.
\]

### Bước 6: Rút gọn phương trình
Chia cả phương trình cho 2:

\[
x^2 + 4x - 5 = 0.
\]

### Bước 7: Giải phương trình bậc 2
Áp dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2}.
\]

### Bước 8: Tìm nghiệm
Nghiệm sẽ là:

\[
x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5.
\]

### Bước 9: Kiểm tra nghiệm
Thay vào các mẫu, ta thấy cần loại bỏ \(x = -5\) vì sẽ gây ra mẫu bằng 0.

Do đó, nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{1}.
\]