Để giải phương trình

\[
\frac{x+2}{x-2} - \frac{x-2}{x+2} = \frac{x^2 + 16}{x^2 - 4},
\]

ta bắt đầu đơn giản hóa biểu thức ở bên trái. Ta đưa hai phân số cùng mẫu về một phân số chung:

\[
\frac{(x+2)^2 - (x-2)^2}{(x-2)(x+2)}.
\]

Bây giờ, áp dụng định lý hiệu giữa hai bình phương:

\[
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b),
\]

ta có:

\[
(x+2)^2 - (x-2)^2 = [(x+2) - (x-2)] \cdot [(x+2) + (x-2)] = 4 \cdot 2x = 8x.
\]

Vậy biểu thức bên trái trở thành:

\[
\frac{8x}{(x-2)(x+2)}.
\]

Bây giờ, chúng ta kiểm tra mẫu số bên phải:

\[
x^2 - 4 = (x-2)(x+2),
\]

do đó phương trình trở thành:

\[
\frac{8x}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2 + 16}{(x-2)(x+2)}.
\]

Bỏ mẫu số (giả sử \(x \neq 2\) và \(x \neq -2\)), ta được:

\[
8x = x^2 + 16.
\]

Sắp xếp lại phương trình này:

\[
x^2 - 8x + 16 = 0.
\]

Đây là một phương trình bậc hai. Ta áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
\]

với \(a = 1\), \(b = -8\), và \(c = 16\).

Tính discriminant:

\[
b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0.
\]

Vì vậy, phương trình có một nghiệm:

\[
x = \frac{8}{2} = 4.
\]

Cuối cùng, ta cần kiểm tra lại xem \(x = 4\) có thuộc miền xác định của phương trình ban đầu hay không. Rõ ràng \(4 \neq 2\) và \(4 \neq -2\), do đó nghiệm này hợp lệ.

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{4}.
\]