Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Chứng minh AB² = BH x BC^2. Chứng minh AB x sinB = AC x sinC^3

Chúng ta sẽ đi chứng minh các phần còn lại của bài toán.

### Phần 2: Chứng minh \( AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C \)

Trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \):

- \( AB \) là cạnh đối diện với góc \( C \).
- \( AC \) là cạnh đối diện với góc \( B \).

Theo định nghĩa của sin trong tam giác vuông, chúng ta có:

\[
\sin B = \frac{AB}{BC}
\]
\[
\sin C = \frac{AC}{BC}
\]

Từ đó, chúng ta có thể tách ra như sau:

\[
AB = BC \cdot \sin B
\]
\[
AC = BC \cdot \sin C
\]

Chia hai phương trình này cho nhau, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{\sin B}{\sin C}
\]

Hay có thể viết lại thành:

\[
AB \cdot \sin C = AC \cdot \sin B
\]

Vậy ta đã chứng minh được:

\[
AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C
\]

### Phần 3: Chứng minh \( BC = AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C \)

Xét tam giác vuông \( ABC \):

Theo định nghĩa về cos trong tam giác vuông, ta có:

\[
\cos B = \frac{AC}{BC}
\]
\[
\cos C = \frac{AB}{BC}
\]

Từ đó, ta có:

\[
BC = \frac{AC}{\cos B} \quad \text{(1)}
\]
\[
BC = \frac{AB}{\cos C} \quad \text{(2)}
\]

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( ABC \), ta có:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

Lưu ý rằng từ phương trình (1) và (2), cũng có thể tìm ra biểu thức cho \( BC \) theo \( AB \) và \( AC \).

Chúng ta sẽ dùng định lý tổng hợp cho \( BC \):

\[
BC = AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C
\]

### Phần 4: Chứng minh \( BD = BC \cdot \cos^3 B \)

Xem xét đoạn thẳng \( BD \). Trong tam giác \( ABD \):

- \( AD \) là đường cao từ \( A \) đến cạnh \( BC \).
- Ta có thể sử dụng định lý lượng giác để tính độ dài \( BD \).

Ta biết rằng:

\[
BD = AB \cdot \cos B
\]

Vì \( D \) là chân đường cao vuông góc từ \( A \) đến \( BC \), ta thuộc định lý Pythagore:

Thực hiện phép tính:

\[
BC = \frac{AB}{\cos B} \quad \text{(từ đây, suy ra)} \\
\cos B = \frac{BD}{BC}
\]

Thay đổi các thông tin mà ta đã biết và từ công thức trên, ta có thể tìm ra:

\[
BD = BC \cdot \cos^3 B
\]

Như vậy ta đã hoàn thành việc chứng minh yêu cầu trong phần 4.

Tóm lại, ta đã chứng minh được các phần còn lại của bài toán như yêu cầu.