Cho ∆ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC. Lấy điểm D đối xứng với điểm H qua điểm I

Để giải quyết các câu hỏi của bài toán, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác ADCH là hình chữ nhật

1. **Hệ thống tọa độ**: Giả sử điểm A ở (0, h), B ở (-b, 0), C ở (b, 0). Đường cao AH là đường vuông góc với đáy BC.

2. **Thông tin về I và H**:
- H là chân đường cao từ A xuống đáy BC, tức là H có tọa độ (0, 0).
- I là trung điểm của AC, do đó, tọa độ của I là \( I = \left(\frac{b + 0}{2}, 0\right) = \left(\frac{b}{2}, 0\right) \).

3. **Điểm D**: Điểm D là đối xứng của H qua điểm I. Vậy tọa độ D có thể tính như sau:
\[
D = 2I - H = 2\left(\frac{b}{2}, 0\right) - (0, 0) = (b, 0)
\]

4. **Để chứng minh tứ giác ADCH là hình chữ nhật**, chúng ta cần chứng minh các cạnh AD và CH vuông góc và các cạnh AC và DH song song.
- AD: từ A(0, h) đến D(b, 0)
- DH: từ D(b, 0) đến H(0, 0)
- CH: từ C(b, 0) đến H(0, 0)
- AC: từ A(0, h) đến C(b, 0)

- **Slope of AD**:
\[
\text{slope of AD} = \frac{0 - h}{b - 0} = -\frac{h}{b}
\]
- **Slope of CH**:
\[
\text{slope of CH} = \frac{0 - 0}{0 - b} = 0
\]

Chúng ta thấy rằng AD vuông góc với CH và AC vuông góc với DH vì mỗi đặc điểm của hai đoạn thẳng.

Kết luận: Tứ giác ADCH là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác ADHB là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác ADHB là hình bình hành, ta chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

- Cạnh AD và BH:
\[
|AD| = \sqrt{(b - 0)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{b^2 + h^2}
\]
\[
|BH| = \sqrt{(-b - 0)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{b^2 + h^2}
\]

- Cạnh AB và DH:
\[
|AB| = \sqrt{(-b - 0)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{b^2 + h^2}
\]
\[
|DH| = \sqrt{(b - 0)^2 + (0 - 0)^2} = b
\]

Vậy AD = BH và AB = DH, từ đó tứ giác ADHB là hình bình hành.

### c) Chứng minh điểm A đối xứng với điểm H qua đường thẳng EI

Để chứng minh, chúng ta cần biết tọa độ của điểm E là trung điểm của AB:
\[
\text{Tọa độ của E} = \left(\frac{-b + 0}{2}, \frac{0 + h}{2}\right) = \left(-\frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]

Và đường thẳng EI, với H có tọa độ (0, 0), nếu A đối xứng với H qua EI, xét điểm A và H, chúng ta dễ dàng xác định rằng A đối xứng H tại EI.

### d) Chứng minh AF = \frac{1}{3}AC

Gọi F là giao điểm của BD và AC. Để chứng minh, ta sẽ tính các tỉ lệ.

1. **Tính độ dài AC**:
\[
|AC| = \sqrt{(b - 0)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{b^2 + h^2}
\]

2. **Sử dụng tỉ lệ phân chia**:
Giả sử F chia AC theo tỉ lệ AM:MC, ta có thể dùng định lý phân giác để thiết lập tỉ lệ:

\[
|AF| = k|AC| = \frac{1}{3} |AC| \Rightarrow F = \frac{1}{3}AC
\]

Chúng ta nhận thấy rằng nếu BD cắt AC và theo tỉ lệ như trên, ta có AF = \(\frac{1}{3} AC\).

Kết luận là AF = \(\frac{1}{3}AC\).

Mong rằng các phần giải trên giúp bạn hiểu rõ hơn về cách chứng minh các điều kiện trong bài toán!