Để giải phương trình:

\[
\sin(3x + \frac{\pi}{4}) + \cos(2x) = 0,
\]

ta có thể biến đổi như sau:

1. **Biến đổi hàm số:**
Sử dụng định nghĩa của hàm sin:

\[
\sin(3x + \frac{\pi}{4}) = \sin(3x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos(3x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right).
\]

Với \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), vậy ta có:

\[
\sin(3x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin(3x) + \cos(3x)).
\]

Do đó, phương trình trở thành:

\[
\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin(3x) + \cos(3x)) + \cos(2x) = 0.
\]

2. **Nhân hai vế với \(\sqrt{2}\):**

\[
\sin(3x) + \cos(3x) + \sqrt{2}\cos(2x) = 0.
\]

3. **Tìm nghiệm:**

Đặt \(y = 3x\), thì phương trình trở thành:

\[
\sin(y) + \cos(y) + \sqrt{2}\cos\left(\frac{2y}{3}\right) = 0.
\]

Điều này là một phương trình phức tạp hơn. Để đơn giản hóa, ta có thể tìm nghiệm từng phần.

4. **Tách hằng số:**

Với \( \sin(y) + \cos(y) = -\sqrt{2}\cos\left(\frac{2y}{3}\right) \):

* Ta có thể sử dụng đồ thị hoặc nghiệm xấp xỉ cho hai hàm:
- \(\sin(y) + \cos(y)\) có giá trị lớn nhất là \(\sqrt{2}\) và nhỏ nhất là \(-\sqrt{2}\).

5. **Giải bằng số:**
Tìm x gần đúng trong các đoạn phù hợp có thể giúp ta tìm giá trị của \(x\).

### Kết luận:
Phương trình phức tạp nhưng có thể giải bằng cách sử dụng đồ thị hoặc tính toán gần đúng cho các giá trị cụ thể. Các nghiệm cho \(x\) sẽ nằm trong khoảng xác định và có nhiều nghiệm vì hàm sin và cos lặp lại.

Thực hiện tính toán hoặc đồ thị hóa phương trình có thể giúp tìm nghiệm chính xác hơn.