Cho tam giác ABC có góc A = 60°; hai góc B,C đều nhọn, các đường cao BD; CE

Để giải bài toán, chúng ta sẽ làm từng bước như sau:

### a) Giải tam giác ADB

Trong tam giác ADB, góc A = 60°, AD = 3cm và BD là đường cao hạ từ B xuống cạnh AC.

Để giải tam giác này, chúng ta sử dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ADB (góc ADB = 90°):

\[
AB^2 = AD^2 + BD^2
\]
Ở đây, chúng ta chưa có độ dài của BD. Để tính BD, ta cần biết giá trị của góc B. Tuy nhiên, trong bài toán không cung cấp giá trị cụ thể của góc B. Giả sử góc B = β.

Dựa vào định lý diện tích, chúng ta có:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BD
\]

Và với ADB:

\[
S_{ADB} = \frac{1}{2} \times AD \times BD = \frac{1}{2} \times 3 \times BD
\]

### b) Chứng minh tam giác ADE~tam giác ABC

Để chứng minh rằng tam giác ADE tỉ lệ với tam giác ABC, chúng ta cần sử dụng quy tắc tỉ lệ góc và độ dài đường.

Góc A (trong tam giác ADE) có độ lớn bằng góc A (trong tam giác ABC), tức là góc A = 60°.

Các góc B và C đều nhọn, do đó góc D và E cũng sẽ nhọn. Bởi vì BD và CE là các đường cao hạ từ B và C, ứng với các góc nhọn của tam giác ABC, và góc ADE được tạo thành giữa đường cao và cạnh tương ứng.

Do đó, bằng sự tương ứng của các góc, ta có:

\[
\text{góc A} = \text{góc A}, \quad \text{góc D} = \text{góc C}
\]

=> Các tam giác ADE và ABC có các góc tương ứng bằng nhau, nên theo định lý góc-góc (AA), ta có:

\[
\triangle ADE \sim \triangle ABC
\]

### c) Tính diện tích tam giác ADE

Biết diện tích tam giác ABC là 20 cm², và do hai tam giác ADE và ABC tỉ lệ với nhau, diện tích của chúng sẽ tỉ lệ với bình phương tỷ lệ của các cạnh tương ứng.

Giả sử tỷ lệ giữa ADE và ABC là k, ta có:

\[
\frac{AD}{AB} = \frac{3}{AB}
\]

Từ thông tin góc A = 60° và diện tích tam giác, ta biết rằng tỉ lệ diện tích là:

\[
\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \left( \frac{AD}{AB} \right)^2
\]

Chúng ta lại không có địa chỉ cụ thể cho AB, tuy nhiên vì tập trung vào khía cạnh thông số đã cho:

Vì \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \), và tỷ lệ là \( \frac{AD}{AB} = \frac{3}{AB} \), giả sử \( AB = k \) thì từ đó:

\[
S_{ADE} = \frac{(3^2)}{(k^2)} \cdot S_{ABC}
\]

\[
S_{ADE} = \frac{9}{AB^2} \times 20
\]

Vì không có số liệu bổ sung, ta không thể tính được giá trị chính xác của diện tích tam giác ADE, cần thêm số liệu để áp dụng vào công thức. Nếu cần tính chính xác, cần thông tin thêm về độ dài cạnh AB.