Cho △ABC vuông tại A. Gọi I là trung điểm của BC còn N, M lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ I xuống CA, AB

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một như đã yêu cầu.

### a) Chứng minh tứ giác AMIN là một hình chữ nhật

Để chứng minh tứ giác AMIN là một hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng các cạnh AM và IN vuông góc với nhau và rằng các cạnh AI và MN cũng vuông góc với nhau.

1. **Xác định các cạnh**:
- I là trung điểm của BC.
- N là chân đường vuông góc hạ từ I xuống CA.
- M là chân đường vuông góc hạ từ I xuống AB.

2. **Tính chất vuông góc**:
- Do N là chân đường vuông góc hạ từ I xuống CA nên AN vuông góc với IN.
- Đối với M, tương tự, AM vuông góc với IM.

3. **Cạnh đối song song**:
- Vì AM vuông góc với AI và IN vuông góc với AN, nên hai cặp cạnh này đều vuông góc với nhau.

Kết hợp các điều trên, ta có AM = IN và AI = MN là sở hữu các cặp cạnh vuông góc. Do đó, AMIN là một hình chữ nhật.

### b) Chứng minh hai tam giác vuông CNI và IMB bằng nhau

1. **Tam giác CNI**:
- CNI là tam giác vuông tại N (do AN vuông góc với NC).

2. **Tam giác IMB**:
- IMB là tam giác vuông tại M (do AM vuông góc với MB).

3. **Cạnh chung**:
- Cạnh CI chung cho cả hai tam giác.

### Sử dụng tiêu chuẩn Hình học:
- Xét cạnh CN và MB. Ta có:
- CNI có: CN = CI / 2 (do I là trung điểm của BC)
- IMB có: MB = CI / 2 (do M và B nằm trên một cạnh)

Kết luận là: Diện tích và hình dạng của hai tam giác bằng nhau → CNI ≅ IMB. Do đó, suy ra M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC.

### c) Chứng minh tứ giác ADCI là một hình thoi

1. **Điểm D**: Đặt D sao cho N là trung điểm của ID.

2. **Chứng minh các cặp cạnh đối bằng nhau**:
- Lưu ý rằng:
- AN = NI
- CI = CN (do CN = CI / 2 đã chứng minh từ trước).

3. **Tính chất của hình thoi**:
- Để chứng minh ADCI là hình thoi, ta cần chứng minh rằng AD = CI và AC = DI. Từ đó, tất cả các cặp cạnh đối đều bằng nhau và có tính chất vuông góc tại điểm I.

Kết luận, các cạnh ADCI bằng nhau và do đó tứ giác ADCI là hình thoi.

### Kết luận
Các chứng minh đã được thực hiện cho các phần a, b, c của bài toán theo yêu cầu. Các điều kiện của hình học đều được xác định và khẳng định rõ ràng.