Vì \( \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} \), ta có thể đặt:

\[
\frac{a}{b} = k, \quad \frac{b}{c} = k, \quad \frac{c}{a} = k
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
a = kb, \quad b = kc, \quad c = ka
\]

Từ đó, chúng ta sẽ có:

1. Từ \( b = kc \) suy ra \( c = \frac{b}{k} \).
2. Từ \( c = ka \) suy ra \( a = \frac{c}{k} \).
3. Từ \( a = kb \) suy ra \( b = \frac{a}{k} \).

Ta có thể tính \( M \) như sau:

\[
M = \left(1 + \frac{a}{b}\right)\left(1 + \frac{b}{c}\right)\left(1 + \frac{c}{a}\right)
\]

Bây giờ thay các tỷ lệ vào \( M \):

\[
\frac{a}{b} = k \implies 1 + \frac{a}{b} = 1 + k
\]
\[
\frac{b}{c} = k \implies 1 + \frac{b}{c} = 1 + k
\]
\[
\frac{c}{a} = k \implies 1 + \frac{c}{a} = 1 + k
\]

Vậy,

\[
M = (1 + k)(1 + k)(1 + k) = (1 + k)^3
\]

Bây giờ, ta cần tìm biểu thức của \( k \) như thế nào.

Vì \( k = \frac{a}{b} \) và \( \frac{b}{c} = k \), ta có:

\[
k^3 = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = 1
\]

Từ đó, ta biết rằng \( k = 1 \).

Do đó:

\[
M = (1 + 1)^3 = 2^3 = 8
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
M = 8
\]