Để tìm giá trị của \( a \) và \( b \) sao cho hệ phương trình

\[
\begin{cases}
ax + by = 1 \\
ax + (b-2)y = 3
\end{cases}
\]

có nghiệm \( (1, -2) \), chúng ta sẽ thay \( x = 1 \) và \( y = -2 \) vào cả hai phương trình.

1. **Thay vào phương trình đầu tiên:**

\[
a(1) + b(-2) = 1
\]

hay

\[
a - 2b = 1. \quad \text{(1)}
\]

2. **Thay vào phương trình thứ hai:**

\[
a(1) + (b-2)(-2) = 3
\]

hay

\[
a - 2(b - 2) = 3 \\
a - 2b + 4 = 3 \\
a - 2b = 3 - 4 \\
a - 2b = -1. \quad \text{(2)}
\]

Bây giờ chúng ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
a - 2b = 1 \quad \text{(1)} \\
a - 2b = -1 \quad \text{(2)}
\end{cases}
\]

Từ (1) và (2), rõ ràng là không thể đồng thời đúng, vì chúng tương phản nhau (kết quả khác nhau cho cùng một biểu thức). Điều này có nghĩa là không có giá trị nào của \( a \) và \( b \) sao cho hệ phương trình đưa ra có nghiệm \( (1, -2) \).

Do đó, không tồn tại \( a \) và \( b \) nào để cho hệ phương trình này có nghiệm tại \( (1, -2) \).