Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x - 1{\rm{\;khi\;}}x \le 2}\\{x + 5{\rm{\;khi}}\,\,x{\rm{\;}} > 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\). Biết \(I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^4} - 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}.f\left[ {{\rm{ln}}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]{\rm{d}}x = \frac{a}{b}} \) với \(a,b \in {\mathbb{Z}^{\rm{*}}}\) và ƯCLN \(\left( {a;b} \right) = 1\).
Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:
Giá trị của \(a\) là _______.
Giá trị của \(b\) là _______.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Đáp án
Giá trị của \(a\) là 31.
Giá trị của \(b\) là 3 .
Giải thích
Với \(x < 2\), ta có \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 1\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\).
Với \(x > 2\), ta có \(f\left( x \right) = x + 5\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Ta có \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + 2x - 1} \right) = 7\)
\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x + 2} \right) = 7;f\left( 2 \right) = 7\).
Do đó \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) nên hàm số liên tục tại \(x = 2\).
Khi đó hàm số đã cho liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Đặt \(t = {\rm{ln}}\left( {{x^2} + 1} \right) \to {\rm{d}}t = \frac{{2x{\rm{\;d}}x}}{{{x^2} + 1}} \Rightarrow \frac{{x{\rm{\;d}}x}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{\rm{d}}t}}{2}\).
Đổi cận:
Với \(x = 0\) ta có \(t = 0\)
Với \(x = \sqrt {{e^4} - 1} \) ta có \(t = 4\)
Khi đó
\( = \frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - x} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 5x} \right)} \right|_2^4} \right] = \frac{1}{2}\left( {\frac{3} + 16} \right) = \frac{3}\)
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |