Đáp án

Giá trị của \(\bar z.z\) bằng 5 .

Mô đun của số phức \(1 + z + {z^2}\) là \(\sqrt {37} \).

Phương pháp giải

Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\), khi đó:

\(\frac{{5\left( {\bar z + i} \right)}} = 5\left( {i + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 5\left( {\bar z + i} \right) = 5\left( {i + 1} \right)\left( {z + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - bi + i} \right) = \left( {i + 1} \right)\left( {a + bi + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow a + i.\left( { - b + 1} \right) = \left( {a + 1 - b} \right) + i\left( {a + 1 + b} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = a + 1 - b}\\{ - b + 1 = a + 1 + b}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 1}\\{a =  - 2}\end{array}} \right.\)

Giá trị của \(\bar z.z = {a^2} + {b^2} = 5\)

\(1 + z + {z^2} =  - 1 - 6i\) nên có mô đun là \(\sqrt {37} \).