Câu hỏi yêu cầu tính tổng của một chuỗi số học, đó là tổng của các số \(2^2, 2^3, \ldots, 2^{100}\).

Để tính tổng \(A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100}\), chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của chuỗi số mũ:

\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Trong đó:
- \(a\) là số hạng đầu tiên,
- \(r\) là tỷ số chung,
- \(n\) là số hạng.

Ở đây, \(a = 2\), \(r = 2\) và số hạng đến \(2^{100}\) có \(100 - 1 + 1 = 100\) số hạng.

Tuy nhiên, thứ tự mà chúng ta đang xem xét là từ \(2^1\) đến \(2^{100}\). Để có tổng chính xác, chúng ta sẽ sửa đổi một chút.

Tổng này từ \(2^1\) đến \(2^{100}\) sẽ là:

\[
A = 2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100}
\]

Chúng ta có thể thay \(A\) vào công thức:

- \(a = 2\)
- \(r = 2\)
- \(n = 100\)

Áp dụng vào công thức \(S_n\):

\[
A = 2 \cdot \frac{1 - 2^{100}}{1 - 2}
\]
\[
A = 2 \cdot \frac{1 - 2^{100}}{-1}
\]
\[
A = 2 \cdot (2^{100} - 1)
\]
\[
A = 2^{101} - 2
\]

Vậy tổng \(A\) là:

\[
A = 2^{101} - 2
\]

Đáp án cuối cùng là:

\[
A = 2^{101} - 2
\]