Để tìm các giá trị \( n \) tự nhiên khác 0 sao cho \( 2^n \cdot n + 3^n \) chia hết cho 5, ta sẽ xem xét biểu thức \( 2^n \cdot n + 3^n \) modulo 5.

Đầu tiên, ta sẽ tính giá trị của \( 2^n \) và \( 3^n \) modulo 5 cho một số giá trị của \( n \).

### Tính \( 2^n \mod 5 \):

- \( n = 1: \quad 2^1 \equiv 2 \mod 5 \)
- \( n = 2: \quad 2^2 \equiv 4 \mod 5 \)
- \( n = 3: \quad 2^3 \equiv 3 \mod 5 \)
- \( n = 4: \quad 2^4 \equiv 1 \mod 5 \)

Khi \( n \) tăng lên, chu kỳ sẽ bắt đầu lại từ \( n = 5 \):

- \( n = 5: \quad 2^5 \equiv 2 \mod 5 \)
- \( n = 6: \quad 2^6 \equiv 4 \mod 5 \)
- \( n = 7: \quad 2^7 \equiv 3 \mod 5 \)
- \( n = 8: \quad 2^8 \equiv 1 \mod 5 \)

Chu kỳ của \( 2^n \mod 5 \) là 4: \( 2, 4, 3, 1 \).

### Tính \( 3^n \mod 5 \):

- \( n = 1: \quad 3^1 \equiv 3 \mod 5 \)
- \( n = 2: \quad 3^2 \equiv 4 \mod 5 \)
- \( n = 3: \quad 3^3 \equiv 2 \mod 5 \)
- \( n = 4: \quad 3^4 \equiv 1 \mod 5 \)

Tương tự, chu kỳ cũng là 4:

- \( n = 5: \quad 3^5 \equiv 3 \mod 5 \)
- \( n = 6: \quad 3^6 \equiv 4 \mod 5 \)
- \( n = 7: \quad 3^7 \equiv 2 \mod 5 \)
- \( n = 8: \quad 3^8 \equiv 1 \mod 5 \)

### Tính \( 2^n \cdot n + 3^n \mod 5 \):

Bây giờ ta sẽ tính \( 2^n \cdot n + 3^n \) cho các giá trị từ 1 đến 8:

1. **\( n = 1 \)**:
\[
2^1 \cdot 1 + 3^1 \equiv 2 \cdot 1 + 3 \equiv 5 \equiv 0 \mod 5
\]

2. **\( n = 2 \)**:
\[
2^2 \cdot 2 + 3^2 \equiv 4 \cdot 2 + 4 \equiv 8 + 4 \equiv 12 \equiv 2 \mod 5 \quad \text{(không chia hết)}
\]

3. **\( n = 3 \)**:
\[
2^3 \cdot 3 + 3^3 \equiv 3 \cdot 3 + 2 \equiv 9 + 2 \equiv 11 \equiv 1 \mod 5 \quad \text{(không chia hết)}
\]

4. **\( n = 4 \)**:
\[
2^4 \cdot 4 + 3^4 \equiv 1 \cdot 4 + 1 \equiv 4 + 1 \equiv 5 \equiv 0 \mod 5
\]

5. **\( n = 5 \)**:
\[
2^5 \cdot 5 + 3^5 \equiv 2 \cdot 5 + 3 \equiv 10 + 3 \equiv 13 \equiv 3 \mod 5 \quad \text{(không chia hết)}
\]

6. **\( n = 6 \)**:
\[
2^6 \cdot 6 + 3^6 \equiv 4 \cdot 6 + 4 \equiv 24 + 4 \equiv 28 \equiv 3 \mod 5 \quad \text{(không chia hết)}
\]

7. **\( n = 7 \)**:
\[
2^7 \cdot 7 + 3^7 \equiv 3 \cdot 7 + 2 \equiv 21 + 2 \equiv 23 \equiv 3 \mod 5 \quad \text{(không chia hết)}
\]

8. **\( n = 8 \)**:
\[
2^8 \cdot 8 + 3^8 \equiv 1 \cdot 8 + 1 \equiv 8 + 1 \equiv 9 \equiv 4 \mod 5 \quad \text{(không chia hết)}
\]

### Tổng hợp kết quả:

Từ đó, ta thấy biểu thức \( 2^n \cdot n + 3^n \) chia hết cho 5 khi \( n = 1 \) và \( n = 4 \).

**Vậy các giá trị của \( n \) tự nhiên khác 0 sao cho \( 2^n \cdot n + 3^n \) chia hết cho 5 là:**
\[ n = 1 \quad \text{và} \quad n = 4 \]