Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức F = 3x + y trên miền xác định bởi hệ bất phương trình

Để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức \( F = 3x + y \) trên miền xác định bởi hệ bất phương trình, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Vẽ đồ thị các bất phương trình

#### 1. Bất phương trình \( x - 3y > -1 \)
Biến đổi:
\[
x - 3y = -1 \implies y = \frac{x + 1}{3}
\]
Đồ thị của phương trình này là một đường thẳng. Màu sắc dưới đường thẳng này sẽ là miền thỏa mãn bất phương trình.

#### 2. Bất phương trình \( x - y \leq 4 \)
Biến đổi:
\[
x - y = 4 \implies y = x - 4
\]
Đồ thị của phương trình này là một đường thẳng. Miền dưới hoặc trên đường thẳng này sẽ là miền thỏa mãn bất phương trình.

#### 3. Bất phương trình \( 2x + y > -2 \)
Biến đổi:
\[
2x + y = -2 \implies y = -2 - 2x
\]
Đồ thị của phương trình này là một đường thẳng. Miền ở trên đường thẳng này sẽ là miền thỏa mãn bất phương trình.

### Bước 2: Xác định các giao điểm

Tiến hành tìm các giao điểm giữa các đường thẳng tương ứng với các bất phương trình:

1. **Giao điểm giữa \( y = \frac{x + 1}{3} \) và \( y = x - 4 \)**:
\[
\frac{x + 1}{3} = x - 4
\]
Giải phương trình này:
\[
x + 1 = 3x - 12 \implies 2x = 13 \implies x = 6.5
\]
Thay vào \( y \):
\[
y = 6.5 - 4 = 2.5 \quad \Rightarrow \quad (6.5, 2.5)
\]

2. **Giao điểm giữa \( y = \frac{x + 1}{3} \) và \( y = -2 - 2x \)**:
\[
\frac{x + 1}{3} = -2 - 2x
\]
Giải phương trình này:
\[
x + 1 = -6 - 6x \implies 7x = -7 \implies x = -1
\]
Thay vào \( y \):
\[
y = -2 - 2(-1) = 0 \quad \Rightarrow \quad (-1, 0)
\]

3. **Giao điểm giữa \( y = x - 4 \) và \( y = -2 - 2x \)**:
\[
x - 4 = -2 - 2x
\]
Giải phương trình này:
\[
3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}
\]
Thay vào \( y \):
\[
y = \frac{2}{3} - 4 = \frac{2}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{10}{3} \quad \Rightarrow \quad \left(\frac{2}{3}, -\frac{10}{3}\right)
\]

### Bước 3: Tính giá trị của \( F \) tại các điểm đỉnh

Tính giá trị của \( F = 3x + y \) tại các giao điểm đã tìm được:

1. **Tại \( (6.5, 2.5) \)**:
\[
F = 3(6.5) + 2.5 = 19.5 + 2.5 = 22
\]

2. **Tại \( (-1, 0) \)**:
\[
F = 3(-1) + 0 = -3
\]

3. **Tại \( \left(\frac{2}{3}, -\frac{10}{3}\right) \)**:
\[
F = 3 \left(\frac{2}{3}\right) - \frac{10}{3} = 2 - \frac{10}{3} = -\frac{8}{3} \approx -2.67
\]

### Bước 4: Xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất

Từ giá trị của \( F \) tại các đỉnh:
- Tại \( (6.5, 2.5) \): \( F = 22 \)
- Tại \( (-1, 0) \): \( F = -3 \)
- Tại \( \left(\frac{2}{3}, -\frac{10}{3}\right) \): \( F \approx -2.67 \)

### Kết quả:
- Giá trị lớn nhất của \( F \) là \( 22 \).
- Giá trị nhỏ nhất của \( F \) là \( -3 \).

Vì vậy:
- Giá trị nhỏ nhất là **-3**.
- Giá trị lớn nhất là **22**.