Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = \frac{3x + 5}{x + 1} \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc phân tích biểu thức.

### Bước 1: Biến đổi biểu thức

Ta có thể viết lại biểu thức \( A \):
\[
A = \frac{3x + 5}{x + 1} = 3 + \frac{2}{x + 1}
\]
Như vậy, biểu thức được viết dưới dạng:
\[
A = 3 + \frac{2}{x + 1}
\]

### Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \)

Để giá trị của \( A \) đạt giá trị nhỏ nhất, \( \frac{2}{x + 1} \) cần phải đạt giá trị nhỏ nhất. Do đó, \( x + 1 \) cần phải đạt giá trị lớn nhất.

### Bước 3: Xác định miền xác định của hàm

Biểu thức \( A \) không xác định khi \( x + 1 = 0 \) hay \( x = -1 \). Do đó, miền xác định là tất cả các giá trị thực trừ đi -1.

### Bước 4: Tính giới hạn khi \( x \) tiến tới -1

Khi \( x \to -1 \), \( A \to \infty \).
Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), \( A \) cũng tiến tới \( 3 \).

### Bước 5: Kết luận

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( A \) xảy ra tại \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \), và giá trị nhỏ nhất của \( A \) là:
\[
\text{Giá trị nhỏ nhất của } A = 3
\]

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là \( 3 \).